Page 1 of 1

Dve vprašanji iz integriranja

Posted: 2.7.2008 21:29
by Bojevnik
Prvo kar me zanima je pr integriranju z nastvkom.
Če imamo nek integral \(\int \frac{dx}{(ax^2+bx+c)^3}\) dobimo nastavek
\(\frac {Ax+B}{(ax^2+bx+c)^2}
+ \frac{Cx+D}{(ax^2+bx+c)}+
E\ln (ax^2+bx+c) +F\int \frac{dx}{(ax^2+bx+c)}\)

Je to prav in zakaj tako pride?



Drugo vprašanje:
Imamo podano neko telo v 3D.
Kako izračunam težišča x,y,z koordinat?

Re: Dve vprašanji iz integriranja

Posted: 2.7.2008 23:26
by Aniviller
Ne grem zdaj tocno preverjat ampak izgleda kar prav. V bistvu je to integrirana verzija razcepa na parcialne ulomke. Integrand razcepis na vsoto ulomkov z razlicnimi stopnjami v imenovalcu. Integral tega nastavis v podobni obliki, le za clene, kjer je stevec odvod imenovalca lahko dobis se logaritem.

Tezisce: kar po definiciji. Integral ustrezne koordinate po celem telesu, ulomljeno s celotnim volumnom.
\(x_T=\frac{\iiint x dV}{\iiint dV}\)

Re: Dve vprašanji iz integriranja

Posted: 16.7.2008 16:08
by Bojevnik
Kaj pa če imamo namesto volumna maso. Saj potem samo namesto z volumnom delimo z maso?
naprimer:

Telo je omejeno s ploskvijo:
\(x^2+y^2+z^2=2x \\
[/tex}

Izračunaj maso, če je \( \varrho(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r\\\)(v sferičnih koordinatah)

Izračunaj težišče z.

maso znam zračunat:
\(m=\int\limits_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2}d\varphi\int\limits_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2}d\vartheta\int\limits_0^{2\cos\varphi\cos\vartheta}
r^3\cos\vartheta dr\)


Sedaj pa če sem prav razumel za težišče z izračunamo isti integra samo da namest \(\varrho\) integriramo koordinato z oz. \(r\sin\vartheta\), se pravi
A:\(=\int\limits_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2}d\varphi\int\limits_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2}d\vartheta\int\limits_0^{2\cos\varphi\cos\vartheta}
r^3\cos\vartheta \sin\vartheta dr\)


in težišče je \(Z_t=\frac{A}{m}\).


Pa lahko pride težišče izven telesa?



Poleg tega pa imam še eno nepovezano vprašanje, obstaja kakšna knjiga ali stran, ki bi lepo razložila in imela nekaj primerov krivuljnega integrala?\)

Re: Dve vprašanji iz integriranja

Posted: 16.7.2008 16:25
by Aniviller
Vse je isto, le da je diferencial mase zdaj odvisen od kraja. Splosno je
\(x_T=\frac{\iiint x dm}{\iiint dm}\)
\(dm=\rho dV\)
ce je gostota konstantna, jo pokrajsas in dobis formulo, po kateri sva delala zgoraj. Drugace pac integriras se gostoto zraven.
\(x_T=\frac{\iiint x \rho(r)dV}{\iiint\rho(r) dV}\)
Ti si v drugem integralu (A) pozabil gostoto. Najbolje je da izpeljes od zacetka - matematicno je povprecje kolicine "f" na porazdelitvi "g" enako
\(\langle f\rangle=\frac{\int f dg}{\int dg}\)
kjer je spodnji integral zato, da je porazdelitev normiras (ce imas verjetnostno gostoto ze normirano, je imenovalec ena).
gostota snovi ni nic drugega kot porazdelitev mase, tezisce je pa itak povprecje koordinate.

Tezisce je lahko zunaj samo, ce telo ni konveksno (ce ima luknje, vdrtine ali kaj podobnega). Bumerang naprimer ima tezisce zunaj.

Za krivuljne integrale pa poglej na wiki, je cisto spodobno pojasnjeno.
http://en.wikipedia.org/wiki/Line_integral

Re: Dve vprašanji iz integriranja

Posted: 16.7.2008 17:00
by Bojevnik
A:\(=\int\limits_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2}d\varphi\int\limits_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2}d\vartheta\int\limits_0^{2\cos\varphi\cos\vartheta}
r^4\cos\vartheta \sin\vartheta dr\)

upam da je tole bolje.

Ok hvala za tole, no sej itak bom imel čez kakšen teden še vrašanja :)

Re: Dve vprašanji iz integriranja

Posted: 16.7.2008 17:26
by Aniviller
A ne bi mogla bit z koordinata tezisca kar 0, tko ze brez racunanja?
telo je simetricno na z (kugla, premaknjena za 1 v x smeri), gostota pa tudi.

Re: Dve vprašanji iz integriranja

Posted: 16.7.2008 21:35
by Mephisto
@Bojevnik:

Napaka je pri integriranju po \(\varphi\), kjer moraš integrirati od \(0\) do \(2 \pi\). Ostalo mislim da je pravilno.

Glede literature: poglej si na http://www.fmf.uni-lj.si/~globevnik/ skripto za Analizo 2. Mislim da boš našel noter kar iščeš :)

Re: Dve vprašanji iz integriranja

Posted: 16.7.2008 22:04
by Aniviller
@Mephisto
mislim da nimas prav, integracijsko obmocje je tako, da ne obsega celotnega kota (krogla s polmerom 1 in srediscem pri x=1 ne sega v levi del koordinatnega sistema).
pa theta ima definiran po geografsko (iz sredine).

Re: Dve vprašanji iz integriranja

Posted: 17.7.2008 7:36
by Mephisto
Ja, seveda, maš prav :oops: se opravičujem!