iskanje funkcije

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
Uporabniški avatar
fogl
Prispevkov: 546
Pridružen: 7.11.2004 20:25
Kraj: Radovljica

iskanje funkcije

Odgovor Napisal/-a fogl »

Rad bi poiskal funkcijo \(Q(x)\) oz \(T(x\)) pri kateri bo \(\int \frac{Q(x)}{(T(x))^2}dT\) minimalen, pri čemer velja, da je \(Q(x)=-\lambda A \frac{dT}{dx}\), ker gre za prevod toplote. Kako se sploh to rešuje, ime metode?

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14610
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: iskanje funkcije

Odgovor Napisal/-a shrink »

No, ekstreme funkcionalov (funkcional je "funkcija funkcije") se (lahko) išče z variacijskim računom.

Osnovna variacijska naloga se glasi takole:

Naj bo dana primerna funkcija \(L\) (Lagrangeova funkcija) in interval \([a,b]\). Na tem intervalu iščemo funkcijo \(y\), ki da funkcionalu \(\phi\)

\(\phi (y) = \int_a^b L(x,y,y') dx\)

ekstremno vrednost.

Funkcija \(y\) mora pri tem ustrezati določenim geometrijskim pogojem; tipično:

\(y(a) = A\), \(y(b) = B\).

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: iskanje funkcije

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Hm... po cem integriras? A ni po x bolj logicno?
Drugace je to tipicen variacijski problem. Variacijski racun pravi, da lahko preko Euler-Lagrangeovih enacb prevedes problem na diferencialno enacbo.
minimiziras tole:
\(\int f(y(x),y'(x),x)dx\)
Euler-Lagrangeove enacbe pravijo:
\(\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\)
(pazi na razliko med parcialnim in totalnim odvodom)

V tvojem primeru je funkcija T:
\(f(T,T')=\frac{-\lambda A T'}{T^2}\)
Z \(-\lambda A\) lahko kar delis. Resitev bo precej dolgocasna :D

Uporabniški avatar
fogl
Prispevkov: 546
Pridružen: 7.11.2004 20:25
Kraj: Radovljica

Re: iskanje funkcije

Odgovor Napisal/-a fogl »

Aniviller napisal/-a:Hm... po cem integriras? A ni po x bolj logicno?
Ne, integritam po T, isščem pa Q(T), malo sem narobe napisal, se pravi iščem \(Q(T)\), da bo \(\int \frac{Q(T)}{T^2}dT\) minimalen (vsaj mislim tako).

Se pravi glede na tole:
Aniviller napisal/-a: \(\int f(y(x),y'(x),x)dx\)
\(\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\)
pride pri meni \(f(Q(T),Q'(T),T)=\frac{Q(T)}{T^2}\)
in iz tega: \(\frac{\partial f}{\partial Q}=\frac{1}{T^2}\), \(\frac{\partial f}{\partial Q'}=0\) in \(\frac{d}{dT}\frac{\partial f}{\partial Q'}=0\)
potem pa iz tega \(0-\frac{1}{T^2}=0\). Kaj pa naj potem s tem, ni mi jasno kako to gre :oops:

Sem pa našel v knjigi točno ta primer, pa mi tudi ni jasen. Ni mi jasno niti kako je sploh dobil enačbo 6.13.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: iskanje funkcije

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No to malo spremeni zadeve. Ti imas vezan problem - racunas minimum integrala
\(\int\frac{Q(T)}{T^2}dT\)
pri konstantnem
\(\int \frac{1}{Q(T)}dT\)
Simbolicno, ce minimiziras \(\int F(x,y,y')dx\) pri konstantnem \(l=\int G(x,y,y')dx\), je tvoj lagrangian
\(L=F(x,y,y')-\lambda G(x,y,y')\)
\(\lambda\) dolocis na koncu z vstavljanjem v drugi integral.

Nazaj na tvoj problem:
\(L=\frac{Q(T)}{T^2}-\frac{\lambda k(T)}{Q}\)
\(\frac{\partial L}{\partial Q}=\frac{1}{T^2}+\frac{\lambda k(T)}{Q^2}=0\)
(nic, ker je odvod po Q' se vedno 0).
Rezultat je \(Q(T)=-\sqrt{\lambda k(T)} T\)
Dolocimo Lagrangeov multiplikator (vstavis v pogoj):
\(l=-\int\frac{k(T)}{\sqrt{\lambda k(T)}T}dT\)
\(\sqrt{\lambda}=-\frac{1}{l}\int\frac{\sqrt{k(T)}}{T}dT\)
Vstavis nazaj v Q(T)
\(Q(T)=\left(\frac{1}{l}\int\frac{\sqrt{k(T)}}{T}dT\right)\sqrt{k(T)}T\)
kar je enako kot v knjigi (l=L/A).

Uporabniški avatar
fogl
Prispevkov: 546
Pridružen: 7.11.2004 20:25
Kraj: Radovljica

Re: iskanje funkcije

Odgovor Napisal/-a fogl »

Hvala, tole sem dojel. A pa je to še vedno variacijski račun oz. kako se imenuje ta metoda, vezan variacijski račun?

Zakaj pa se reče, da je \(L=F(x,y,y')-\lambda G(x,y,y')\) lagrangian. A ni v fiziki lagrangian funkcija, ki je definirana kot kinetična energija - potencialna energija. A je tukaj kakšna povezava?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: iskanje funkcije

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

To je se vedno variacijski racun, le argument integrala je drugacen, ker moras pri variaciji upostevati vez. Vezanemu ekstremalnemu problemu pravijo tudi izoperimetricni problem.

Tole o Lagrangianu je pa malo dvoumen, vendar siroko uporabljan pojem (ker tezko najdes alternativno besedo). Povezava je ogromna: Lagrangeov variacijski princip pravi, da je trajektorija gibanja tista, ki minimizira akcijo, ki je definirana kot integral
\(S=\int_0^{t_0} L(t)dt\)
Euler-Lagrangeove enacbe so tem primeru gibalne enacbe sistema (Newtonov zakon). Tako da ni hudo narobe, ce reces temu Lagrangian tudi ce ne izvira ravno iz mehanskega problema in ce integral ni ravno akcija (lahko bi minimiziral kaksno cisto nefizikalno zadevo). V tvojem primeru je npr. neodvisna spremenljivka temperatura, pomen integrala je cisto drugacen, resitev pa poteka na enak nacin, ker je oboje variacijski problem.

Smotka90
Prispevkov: 1
Pridružen: 30.4.2010 13:29

Re: iskanje funkcije

Odgovor Napisal/-a Smotka90 »

Zanima me če ve kdo kako rešit tole:


Dana je funkcija y= x( krat) e, na potenco 3x-2

a. Zapišite funkcijo elastičnosti Exy
b. Izračunajte elastičnost pri x=-1 . Za približno koliko % in kako se spremeni y, če x=-1 povečamo za 2 %?

sanej
Prispevkov: 71
Pridružen: 25.8.2010 18:00

Re: iskanje funkcije

Odgovor Napisal/-a sanej »

živjo

iščem geodetko na x^2+y^2=1 med točkama t1(-1,0,0) in t2(0,1,2)

\(\[ ds= \sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} \to \sqrt{1+y'^2 +z'^2} dx \]\) ( 1)

parametriziram \(\[ x = x, y= \sqrt{1-x^2} , z= z(x) \]\)

vstavim parametre v (1) in dobim tole \(\[ \sqrt{ 1 + \frac{x^2}{1-x^2} +z'^2} \]\) to naj bi bil( L)

uporabim Euler Lagrange \(\[ L_z = \frac{d}{\partial x} L_{z'} \]\)

dobim \(\[ C^2 = \frac{1}{ 1+\frac{x^2}{1-x^2} +z'^2} \]\)

in iz tega \(\[ z' = \sqrt{ \frac{1}{C^2}-\frac{C^2}{1-x^2} } \]\)

ali je tak postopek pravilen in se vedno uporablja za geodetke ? ali bi bilo lepše rešiti v drugih koordinatah ker ta rešitev je grda.

Ali je ta krivulja z(x) ki jo dobimo po integriranju geodetka ?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: iskanje funkcije

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Geodetke na cilindru so spirale, ki jih trivialno zapises v polarnem koordinatnem sistemu (z=k*fi).

sanej
Prispevkov: 71
Pridružen: 25.8.2010 18:00

Re: iskanje funkcije

Odgovor Napisal/-a sanej »

Ja samo kako pa potem dobim zdej točno določeno ? verjetno določim k

ali enostavno rečem \(\[ k = \frac{\bigtriangleup z}{\bigtriangleup \phi} \]\) in vstavim razliko Pi/2 in za z 2 da dobim točn k ?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: iskanje funkcije

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No kot prvo sem pozabil se offset (z=k*fi+z0), potem je pa res tako kot ti pravis. Ce pretvoris robni tocki v cilindricne koordinate, se problem reducira na vlecenje premice skozi dve tocki (olupis cilinder). Ni pa zadeva enolicno dolocena, ker pri dolocanju kota v cilindricnih koordinatah lahko dodas poljuben mnogokratnik 2pi.

Odgovori