Algebra II

[bogi]

OK, če prav razumem, je potem pri tej nalogi odgovor DA.
Obstaja realno stevilo \(\alpha\) , da je \([\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=1000\)

[bogi]

Naj bo G poljubna grupa. Oznacimo z Aut(G) mnozico vseh avtomorfizmov grupe G, to
je mnozico vseh bijektivnih homomorfizmov grup \(\varphi:G \rightarrow G\)
(a) Pokazite, da je mnozica Aut(G) grupa za obicajno komponiranje preslikav.
(b) Dolocite elemente grupe \(Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)\). Kateri znani grupi je izomorfna \(Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)\)?
(c) Kateri znani grupi pa je izomorfna grupa \(Aut(\mathbb{Z}_4)\)?

Kakšen predlog za rešitev te naloge?

[Zajc]

OK, če prav razumem, je potem pri tej nalogi odgovor DA.
Obstaja realno stevilo \(\alpha\) , da je \([\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=1000\)

Da, \(\alpha=\sqrt[1000]{2}\).

[bogi]

Naj bo G poljubna grupa. Oznacimo z Aut(G) mnozico vseh avtomorfizmov grupe G, to
je mnozico vseh bijektivnih homomorfizmov grup \(\varphi:G \rightarrow G\)
(a) Pokazite, da je mnozica Aut(G) grupa za obicajno komponiranje preslikav.
(b) Dolocite elemente grupe \(Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)\). Kateri znani grupi je izomorfna \(Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)\)?
(c) Kateri znani grupi pa je izomorfna grupa \(Aut(\mathbb{Z}_4)\)?

Kakšen predlog za rešitev te naloge?

A bi mi lahko pomagal še pri tej nalogi?

[bogi]

Katere trditeve so pravilne:
1. Ce je G grupa moci 55, ki premore natanko stiri edinke, potem ima G natanko stiri
elemente reda 5.
2. Ce je G grupa moci 121, ki premore vsaj dve pravi netrivialni podgrupi, jih premore
natanko 12.
3. Obstaja komutativna grupa moci 62, ki vsebuje vec kot en element reda 2.
4. Ce je G poljubna grupa moci 26, potem ima G natanko 12 elementov reda 13.
5. Vsaka grupa na 20 elementih je Abelova grupa.
6. Ce je G nekomutativna grupa moci 625, potem G ni enostavna.

Se komu kaj sanja?

[Zajc]

Katere trditeve so pravilne:
1. Ce je G grupa moci 55, ki premore natanko stiri edinke, potem ima G natanko stiri
elemente reda 5.
2. Ce je G grupa moci 121, ki premore vsaj dve pravi netrivialni podgrupi, jih premore
natanko 12.
3. Obstaja komutativna grupa moci 62, ki vsebuje vec kot en element reda 2.
4. Ce je G poljubna grupa moci 26, potem ima G natanko 12 elementov reda 13.
5. Vsaka grupa na 20 elementih je Abelova grupa.
6. Ce je G nekomutativna grupa moci 625, potem G ni enostavna.

Se komu kaj sanja?

1. Grupa G ima natanko 2 pravi netrivialni podgrupi edinki. Ti dve edinki imata moč bodisi 5 bodisi 11. Če bi imeli obedve moč 5 (ali obedve 11), bi bili po izreku Sylowa konjugirani in ne bi bili edinki, kar je protislovje. Torej ima prva moč 5 in druga moč 11. Naj bo H podgrupa edinka moči 5. Seveda je H izomorfna \(\mathbb{Z}_5\). Vsak element H ima red 5 (razen seveda 1), torej G premore vsaj 4 elemente reda 5. Po drugi strani pa vsak element reda 5 genenrira neko podgrupo moči 5, ki pa je po izreku Sylowa konjugirana H in zato enaka H. Grupa H torej vsebuje vse elemente reda 5. Torej je teh elementov res natanko 4.

[Mephisto]

Naj bo G poljubna grupa. Oznacimo z Aut(G) mnozico vseh avtomorfizmov grupe G, to
je mnozico vseh bijektivnih homomorfizmov grup \(\varphi:G \rightarrow G\)
(a) Pokazite, da je mnozica Aut(G) grupa za obicajno komponiranje preslikav.
(b) Dolocite elemente grupe \(Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)\). Kateri znani grupi je izomorfna \(Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)\)?
(c) Kateri znani grupi pa je izomorfna grupa \(Aut(\mathbb{Z}_4)\)?

Kakšen predlog za rešitev te naloge?

(a) trivialna točka, ker kompozitum dveh avtomorfizmov je seveda avtomorfizem

(b) pri homomorfizmih si oglej kam se lahko slika kakšen element. Enota gre seveda v enoto, inverz se slika v inverz slike, elementi nekega reda n se pa slikajo v elemente reda n ali takega reda, ki deli n.
\(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 = \{ (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) \}\). (0,0) gre z vsakim homomorfizmom v (0,0). Ker so ostali elementi vsi reda 2, se bi načeloma lahko poljubno preslikovali med seboj, kar je tudi res, če malo poskusiš. Torej imaš 6 možnih homomorfizmov. In ker so avtomorfizmi nekakšne permutacije neke grupe je to vrjetno izomorfno grupi \(S_3\). To moraš seveda še dokazati (poiskati izomorfizem med obema grupama).

(c) Kot rečeno, enota gre v enoto, elementi nekega reda pa v elemente istega reda, ali pa reda, ki našega deli. V tej grupi so poleg enote še 1, ki je reda 4, 2, ki je reda 2 in 3, ki je reda 4. Torej se lahko 1 in 3 preslikata v 1,2 ali 3, medtem ko dvojka gre zagotovo v dvojko, torej nam ostane le še ali se 1 slika v 3 in obratno, ali pa identična preslikava.
Imamo torej dve preslikavi, kar je izomorfno grupi \(S_2\)

[bogi]

Živjo!
Ali veljajo trditve:
a.) V \(A_5\) obstaja element reda 6.
b.)Grupa \(\mathbb{Z}_2\times{A}_3\) premore podgrupo moči 6.

[bogi]

Živjo!
Imam nalogo iz algebre.

Katere trditve so pravilne:
(a) Obstajajo vsaj tri paroma neizomorfne grupe moči 18.
(b) Obstaja grupa moči 20 in v njej podrupa moči 4, ki ni edinka.

Prosim za pomoč!

LP!

[Zajc]

(a) Pravilno. Grupe \(\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_9\), \(\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_3\) in \(S_3\times\mathbb{Z}_3\) so očitno neizomorfne (prva je ciklična, druga je komutativna neciklična, tretja je nekomutativna).

(b) Verjetno, da ja. Probaj kakšno diedrsko grupo ...

[bogi]

Kako bi rešil takšno nalogo?

Pokazi, da je polinom \(p(x) = x^2 - 3\) nerazcepen nad \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\).

[just.a.girl989]

Živjo!
Potrebujem pomoč pri naslednji nalogi:
Naj bosta \(r\) in \(s\) tuji si števili in \(x \in G\) element reda \(rs\) . Pokaži, da obstajata enolično določena elementa \(y,z \in G\) redov \(red(y)=r\) in \(red(z)=s\), za katera velja \(yz=zy=x.\)
Lp

[Jurij]

Ker sta \(r\) in \(s\) tuja, obstajata celi števili \(a,b\) tako, da je \(ar+bs=1\). Sedaj postaviš \(y=x^{bs}\) in \(z=x^{ar}\) in preveriš, da zadoščata pogojem. Toliko o obstoju, enoličnost je potrebno še premisliti.

[Serialcek]

Zdravo, sem nov na tem forumupa bi imel eno laično vprašanje (verjetno bom kmalu napisal še kakšno) katero spada v sklop algebre 2.

Imam nalogo kjer moram poiskati bazo podprostorov danih množic ter ju dopolniti do baze celotnega prostora R3X. Dimenzija prostora R3X je 4.
V podani množici A imam naprimer 4 vektorje katere dam v matriko naredim gausovo transformacijo, ugotovim da so vsi neodvisni in jih določim za bazo.

Skratka to je ta naloga:

http://www4.slikomat.com/11/0604/l6w-nalogc.jpg

Ne razumem dela da morem dopolniti bazo do celotnega prostora. Če jaz dobim 4 neodvisne vektorje ali ni to dovolj? Oziroma kaj ni da mi v tem primeru ne rabi pisat nobenih dodatnih vektorjev?
Naprimer pri za množico B pa dobimo 3 neodvisne, kaj bi moral tam dodat kak vektor zraven?

Hvala, lp