Naloga iz kombinatorike oz. verjetnosti

O matematiki, številih, množicah in računih...
Post Reply
Kislo_mleko
Posts: 11
Joined: 29.10.2008 11:23

Naloga iz kombinatorike oz. verjetnosti

Post by Kislo_mleko » 29.10.2008 11:32

Pozdravljeni!

Zanima me, kako bi se rešilo naslednjo nalogo in kakšen je rezultat.
Jaz bi jo znal rešiti s programiranjem - s simulacijo metanja kock, zato me ta način ne zanima.

Gre pa naloga takole:

Imamo šest igralnih kock. Hkrati vržemo vseh šest. Kolikšna je verjetnost, da bo vsota pik, ki padejo pri tem metu,
znašala natanko 21?

Videti je preprosto, a ni tako...

Hvala!

:wink:

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Naloga iz kombinatorike oz. verjetnosti

Post by Aniviller » 29.10.2008 16:24

Bos takoj videl sistem, ko greva po vrsti. Naj bo \(P_n(j)\) verjetnost, da n kock da skupno vsoto j. Za eno kocko je enostavno:
\(P_1(j)=\frac{1}{6}\)
Za dve kocki moras sesteti vse kombinacije, ki dajo vsoto j.
\(P_2(j)=P_1(1)P_1(j-1)+P_1(2)P_2(j-2)+\cdots+P_1(j-1)P_1(1)\)
Primer za vsoto 4 za dve kocki:
\(P_2(4)=P_1(1)P_1(3)+P_1(2)P_1(2)+P_1(3)P_1(1)=\frac{1}{12}\)
(lahko je ena 3, ena 1, lahko sta pa obe 2).
In tako nadaljujes, vsakic dodas eno kocko in sestevas verjetnosti za vse kombinacije, ki dajo isto vsoto (organiziras tako, da prvo stevilko visas, drugo nizas). Ce narises porazdelitev, je za eno kocko enakomerna, za drugo trikotniska, za tretjo ze malo bolj mehka in za ogromno kock se zmehca v Gaussovo krivuljo. Procesu se rece konvolucija.

Zajc
Posts: 1099
Joined: 26.6.2008 19:15

Re: Naloga iz kombinatorike oz. verjetnosti

Post by Zajc » 30.10.2008 18:37

Lahko si tudi pomagaš z rodovno funkcijo. Rodovna funkcija za kocko je \(\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}x^2+\ldots+\frac{1}{6}x^6=\frac{1}{6}x(1+x+\ldots+x^5)\). Za šest kock je potem \((\frac{1}{6})^6x^6(1+x+\ldots+x^5)^6\). Zdaj pa rabiš samo še izračunati koeficient tega izraza pri potenci \(x^{21}\). Ampak to pa verjetno res ne bo šlo brez Mathematice ... Kje pa si pobral to nalogo?

Btw, Mathematica pravi, da je rezultat 361/3888.

Kislo_mleko
Posts: 11
Joined: 29.10.2008 11:23

Re: Naloga iz kombinatorike oz. verjetnosti

Post by Kislo_mleko » 31.10.2008 19:40

Oj, hvala za nasvete!

Ta naloga je le soroden primer tezjih nalog, ki jih resujem za zabavo.
Z racunalnisko simulacijo (kar v Excelu) sem dobil verjetnost blizu 9,3 odstotka, da pri metu 6 kock dobimo vsoto 21.

Vedno sem si rad izmisljeval matematicne naloge in jih potem poskusal resiti. Vcasih precej bizarne, kot je naslednja, ki me je presinila med neko gledalisko predstavo, kjer je kakih 7 mladih zensk nastopalo v samem spodnjem perilu. Vprasal sem se, koliksna je verjetnost, da nobena nima ta dan menstruacije. Nalogo sem resil s pomocjo diskretne binomske porazdelitve. Se vedno pa ne vem, ali kaj vpliva na rezultat zahteva, da so "tisti dnevi" eden za drugim, ne pa kadarkoli v ciklu. Poenostavljeno sem vzel za cikel 28 dni, od tega 4 dni menstre.

Sram me bodi! :)

User avatar
shrink
Posts: 14560
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Naloga iz kombinatorike oz. verjetnosti

Post by shrink » 31.10.2008 19:45

Kislo_mleko wrote:Vedno sem si rad izmisljeval matematicne naloge in jih potem poskusal resiti. Vcasih precej bizarne, kot je naslednja, ki me je presinila med neko gledalisko predstavo, kjer je kakih 7 mladih zensk nastopalo v samem spodnjem perilu.
Čisto iz gole radovednosti: o kateri predstavi je govora? :wink:

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Naloga iz kombinatorike oz. verjetnosti

Post by Mafijec » 31.10.2008 22:29

33,99?

Kislo_mleko
Posts: 11
Joined: 29.10.2008 11:23

Re: Naloga iz kombinatorike oz. verjetnosti

Post by Kislo_mleko » 1.11.2008 3:34

Za 6 oseb sem dobil verjetnost (po prej omenjenem preprostem modelu) 39,65 %, da je nima nobena.

Predstava se pa imenuje Mujeres en el baño (Zenske v kopalnici), videl avgusta letos v Teatro Picadilly v Bones Airesu, Argentina.

Hvala se enkrat za sugestije.

fox
Posts: 91
Joined: 12.5.2008 1:45

Re: Naloga iz kombinatorike oz. verjetnosti

Post by fox » 17.11.2008 16:09

a mi lahk kdo pomaga

1) Naj slučajni vektor (X,Y) določa koordinate enakomerno izbrane naključne točke iz kvadrata [01] x [01]. Izračunaj A(32)B(23), kjer sta A in B robni porazdelitveni funkciji za (X,Y).

pa se to:
2)Določi gostoto slučajnega vektorja s porazdelitveno funkcijo
F(x,y)= ((1-E^-x) * y^2) /(1+y^2)

hvala

Post Reply