Praštevilska drevesa

[Kislo_mleko]

Pozor, spet trdim, da ne odkrivam Amerike, samo zanimivo je in zelim vedeti kaj vec.

Vsako sestavljeno naravno stevilo lahko enolicno zapisemo kot produkt prastevil, recimo:
20 = 2*2*5
Ta prastevila sedaj sestejmo (recimo temu "prastevilska vsota"):
2+2+5 = 9
Novo, manjse stevilo spet razstavimo na produkt prastevil:
9 = 3*3
Prastevilska vsota je 3+3 = 6.
Ponovimo postopek s sestico: 6 = 2*3
Sestejmo prastevila: 2+3 = 5.

Tu se zgodba konca. Na koncu vedno (izjema je stevilo 4, kjer se stvar odvija ciklicno: 4 = 2*2, 2+2 = 4) dobimo natanko doloceno prastevilo. Recimo mu na primer "bazicno prastevilo". V to smer je stvar enolicna, v obratno pa ne, primer:

5 = 2+3 -> 2*3 = 6
Sest lahko zapisemo z dvema razlicnima prastevilskima vsotama:
6 = 2+2+2 -> 2*2*2 = 8
6 = 3+3 -> 3*3 = 9
Vecje ko je stevilo, vec stevil lahko generiramo iz njegovih prastevilskih vsot, ce jih spremenimo v produkte.

Rezultat so drevesa iz neskoncne mnozice sestavljenih stevil, in ce recemo, da je "bazicno prastevilo" njegovo deblo, ima vsako nadstropje tega drevesa vse vec vej, ki jih predstavljajo vse vecja naravna stevila. Prica smo pravi verizni reakciji, eksploziji stevil (ce uporabim domisljijo).

Da je prastevil neskoncno, so vedeli ze stari Grki. V vsakem drevesu, ki "poganja" iz nekega prastevila, je neskoncno sestavljenih stevil, ki se ne nahajajo v nobenem drugem drevesu. Imamo torej mnozico naravnih stevil, razdeljeno na neskoncno mnozic (vsaka z neskoncno elemeniti), ki nimajo skupnega preseka.

To od dalec spominja na realna stevila in njihovo ponazoritev z realno osjo. Z doloceno razliko: med dvema zaporednima prasteviloma ni neskoncno po velikosti urejenih naravnih stevil, ampak so posameznemu "bazicnemu prastevilu" pripadajocata sestavljena stevila razmetana po celotni pozitivni polovici realne osi.

A VE KDO O TEM KAJ VEC? KAKSNE ZANIMIVE LASTNOSTI? KAKO SE TAKSNA DREVESA "URADNO" IMENUJEJO?
SEM BIL RAZUMLJIV?

(Pardon za manjkajoce sumnike - sem v tujini in nimam slovenske tipkovnice.)

[Aniviller]

Google is your friend

http://mathworld.wolfram.com/SumofPrimeFactors.html

Zaporedje prirejenih prastevil je ocitno tudi v bazi znanih celostevilskih sekvenc:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A029908

Koda za Mathematico, ki ti danemu stevilu priredi prastevilo:

Koda: Izberi vse

f[x_]:=If[(x==4)||PrimeQ[x],x,f[Plus@@(Times@@#&/@FactorInteger[x])]]