Diferenčne enačbe

O matematiki, številih, množicah in računih...
Post Reply
bogi
Posts: 75
Joined: 23.8.2008 11:36

Diferenčne enačbe

Post by bogi » 12.11.2008 12:56

Mi lahko kdo pomaga pri tej nalogi:
\(a_{n+2} -4a_{n+1} + 3a_{n}=4*3^n-2^{n+1}+2n-1\), za \(a_0=0\) in \(a_1=2\)
Nalogo moram rešiti brez antidiferenčenja, torej jo rešujem z nastavkom. Homogeni del rešitve znam izračunati, moti pa me grdi desni del enačbe. Prosim za pomoč.
LP!

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Diferenčne enačbe

Post by Aniviller » 12.11.2008 14:33

Se vedno velja linearnost, kar pomeni da lahko za vsak clen na desni posebej najdes partikularno resitev. Za eksponentne clene postopas tako kot ponavadi (eksponentni nastavek, razen ce je ta ze v homogeni resitvi, v tem primeru je nastavek oblike npr. \(n 3^n\)). Za polinomske clene je nastavek polinom (probaj stopnjo 2).

bogi
Posts: 75
Joined: 23.8.2008 11:36

Re: Diferenčne enačbe

Post by bogi » 12.11.2008 16:34

Hvala za pomoč, ampak ali mi lahko malo bolj natančno opišeš postopek.
LP!

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Diferenčne enačbe

Post by Aniviller » 12.11.2008 17:01

Resitev za prvi clen:
\(a_n=b n 3^n\)
Vstavimo v levi del enacbe:
\(b(3^2(n+2)-4\cdot 3(n+1)+3 n)3^n=\)\(b(9n-12n+3n+18-4)3^n=14b 3^n\)
Preberemo, da mora biti \(14b=4\rightarrow b=\frac{2}{7}\)

Drugi clen ima lahko navaden nastavek:
\(a_n=b 2^n\)
Vstavimo:
\(b(2^2-4\cdot 2+3)2^n=-b 2^n\)
Ce hocemo da je to enako \(-2\cdot 2^n\) mora biti \(b=2\).

Tretji in cetrti del (to lahko naenkrat ker je polinom):
\(a_n=a n^2+bn+c\)
Vstavimo:
\(a(n^2+4n+4)+b(n+2)+c-\)\(4(a(n^2+2n+1)+b(n+1)+c)+3(an^2+bn+c)=-2b-4an\)
Ko to primerjas z izrazom \(2n-1\) ugotovis, da je
\(a=-\frac{1}{2}\quad b=\frac{1}{2}\quad c=0\)

Resitev je seveda enaka vsoti homogenega dela in vseh treh zgornjih prispevkov. Vseeno raje resi sam se enkrat ker je mozno da sem v naglici kaj narobe zapisal.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Diferenčne enačbe

Post by Aniviller » 12.11.2008 17:04

Na kratko, vsi nastavki so enaki kot pri diferencialnih enacbah.

bogi
Posts: 75
Joined: 23.8.2008 11:36

Re: Diferenčne enačbe

Post by bogi » 12.11.2008 17:28

Najlepša hvala! LP!

atropine
Posts: 1
Joined: 8.9.2009 16:04

Re: Diferenčne enačbe

Post by atropine » 8.9.2009 16:15

Se opravičujem da sem to temo potegnila iz naftalina, vendar potrebujem pomoč. Probleme imam pri določitvi nastavka za partikularni del. Prosila bi če mi kdo opiše postopek, kako se to naredi.
lp

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Diferenčne enačbe

Post by Aniviller » 8.9.2009 16:25

Homogeni del ima resitve z doloceno osnovo (recimo 3^n, 2^n,...). Ce je partikularni del oblike \(a^n\), je nastavek oblike \(C a^n\), razen ce je "a" ze osnova za homogene resitve. V tem primeru gre "n" tudi spredaj: \(Cn a^n\).
Za polinomski partikularni del je nastavek ravno tako polinom. To je vecinoma vse.

mirko007
Posts: 6
Joined: 25.5.2010 11:43

Re: Diferenčne enačbe

Post by mirko007 » 21.6.2010 12:28

Karakteristicna enacba diferencialne enacbe 2. reda je k^2 + 6k +13 = 0. Prosil bi za splosno resitev in postopek resevanja.

PS. mislim da je resitev-k kompleksno stevilo.

Post Reply