Kvarkadabra forum

Mi lahko kdo pomaga pri tej nalogi:
\(a_{n+2} -4a_{n+1} + 3a_{n}=4*3^n-2^{n+1}+2n-1\), za \(a_0=0\) in \(a_1=2\)
Nalogo moram rešiti brez antidiferenčenja, torej jo rešujem z nastavkom. Homogeni del rešitve znam izračunati, moti pa me grdi desni del enačbe. Prosim za pomoč.
LP!

Se vedno velja linearnost, kar pomeni da lahko za vsak clen na desni posebej najdes partikularno resitev. Za eksponentne clene postopas tako kot ponavadi (eksponentni nastavek, razen ce je ta ze v homogeni resitvi, v tem primeru je nastavek oblike npr. \(n 3^n\)). Za polinomske clene je nastavek polinom (probaj stopnjo 2).

Hvala za pomoč, ampak ali mi lahko malo bolj natančno opišeš postopek.
LP!

Resitev za prvi clen:
\(a_n=b n 3^n\)
Vstavimo v levi del enacbe:
\(b(3^2(n+2)-4\cdot 3(n+1)+3 n)3^n=\)\(b(9n-12n+3n+18-4)3^n=14b 3^n\)
Preberemo, da mora biti \(14b=4\rightarrow b=\frac{2}{7}\)

Drugi clen ima lahko navaden nastavek:
\(a_n=b 2^n\)
Vstavimo:
\(b(2^2-4\cdot 2+3)2^n=-b 2^n\)
Ce hocemo da je to enako \(-2\cdot 2^n\) mora biti \(b=2\).

Tretji in cetrti del (to lahko naenkrat ker je polinom):
\(a_n=a n^2+bn+c\)
Vstavimo:
\(a(n^2+4n+4)+b(n+2)+c-\)\(4(a(n^2+2n+1)+b(n+1)+c)+3(an^2+bn+c)=-2b-4an\)
Ko to primerjas z izrazom \(2n-1\) ugotovis, da je
\(a=-\frac{1}{2}\quad b=\frac{1}{2}\quad c=0\)

Resitev je seveda enaka vsoti homogenega dela in vseh treh zgornjih prispevkov. Vseeno raje resi sam se enkrat ker je mozno da sem v naglici kaj narobe zapisal.

Na kratko, vsi nastavki so enaki kot pri diferencialnih enacbah.

Najlepša hvala! LP!

Se opravičujem da sem to temo potegnila iz naftalina, vendar potrebujem pomoč. Probleme imam pri določitvi nastavka za partikularni del. Prosila bi če mi kdo opiše postopek, kako se to naredi.
lp

Homogeni del ima resitve z doloceno osnovo (recimo 3^n, 2^n,...). Ce je partikularni del oblike \(a^n\), je nastavek oblike \(C a^n\), razen ce je "a" ze osnova za homogene resitve. V tem primeru gre "n" tudi spredaj: \(Cn a^n\).
Za polinomski partikularni del je nastavek ravno tako polinom. To je vecinoma vse.

Karakteristicna enacba diferencialne enacbe 2. reda je k^2 + 6k +13 = 0. Prosil bi za splosno resitev in postopek resevanja.

PS. mislim da je resitev-k kompleksno stevilo.