Page 1 of 1

Diferenčne enačbe

Posted: 12.11.2008 12:56
by bogi
Mi lahko kdo pomaga pri tej nalogi:
\(a_{n+2} -4a_{n+1} + 3a_{n}=4*3^n-2^{n+1}+2n-1\), za \(a_0=0\) in \(a_1=2\)
Nalogo moram rešiti brez antidiferenčenja, torej jo rešujem z nastavkom. Homogeni del rešitve znam izračunati, moti pa me grdi desni del enačbe. Prosim za pomoč.
LP!

Re: Diferenčne enačbe

Posted: 12.11.2008 14:33
by Aniviller
Se vedno velja linearnost, kar pomeni da lahko za vsak clen na desni posebej najdes partikularno resitev. Za eksponentne clene postopas tako kot ponavadi (eksponentni nastavek, razen ce je ta ze v homogeni resitvi, v tem primeru je nastavek oblike npr. \(n 3^n\)). Za polinomske clene je nastavek polinom (probaj stopnjo 2).

Re: Diferenčne enačbe

Posted: 12.11.2008 16:34
by bogi
Hvala za pomoč, ampak ali mi lahko malo bolj natančno opišeš postopek.
LP!

Re: Diferenčne enačbe

Posted: 12.11.2008 17:01
by Aniviller
Resitev za prvi clen:
\(a_n=b n 3^n\)
Vstavimo v levi del enacbe:
\(b(3^2(n+2)-4\cdot 3(n+1)+3 n)3^n=\)\(b(9n-12n+3n+18-4)3^n=14b 3^n\)
Preberemo, da mora biti \(14b=4\rightarrow b=\frac{2}{7}\)

Drugi clen ima lahko navaden nastavek:
\(a_n=b 2^n\)
Vstavimo:
\(b(2^2-4\cdot 2+3)2^n=-b 2^n\)
Ce hocemo da je to enako \(-2\cdot 2^n\) mora biti \(b=2\).

Tretji in cetrti del (to lahko naenkrat ker je polinom):
\(a_n=a n^2+bn+c\)
Vstavimo:
\(a(n^2+4n+4)+b(n+2)+c-\)\(4(a(n^2+2n+1)+b(n+1)+c)+3(an^2+bn+c)=-2b-4an\)
Ko to primerjas z izrazom \(2n-1\) ugotovis, da je
\(a=-\frac{1}{2}\quad b=\frac{1}{2}\quad c=0\)

Resitev je seveda enaka vsoti homogenega dela in vseh treh zgornjih prispevkov. Vseeno raje resi sam se enkrat ker je mozno da sem v naglici kaj narobe zapisal.

Re: Diferenčne enačbe

Posted: 12.11.2008 17:04
by Aniviller
Na kratko, vsi nastavki so enaki kot pri diferencialnih enacbah.

Re: Diferenčne enačbe

Posted: 12.11.2008 17:28
by bogi
Najlepša hvala! LP!

Re: Diferenčne enačbe

Posted: 8.9.2009 16:15
by atropine
Se opravičujem da sem to temo potegnila iz naftalina, vendar potrebujem pomoč. Probleme imam pri določitvi nastavka za partikularni del. Prosila bi če mi kdo opiše postopek, kako se to naredi.
lp

Re: Diferenčne enačbe

Posted: 8.9.2009 16:25
by Aniviller
Homogeni del ima resitve z doloceno osnovo (recimo 3^n, 2^n,...). Ce je partikularni del oblike \(a^n\), je nastavek oblike \(C a^n\), razen ce je "a" ze osnova za homogene resitve. V tem primeru gre "n" tudi spredaj: \(Cn a^n\).
Za polinomski partikularni del je nastavek ravno tako polinom. To je vecinoma vse.

Re: Diferenčne enačbe

Posted: 21.6.2010 12:28
by mirko007
Karakteristicna enacba diferencialne enacbe 2. reda je k^2 + 6k +13 = 0. Prosil bi za splosno resitev in postopek resevanja.

PS. mislim da je resitev-k kompleksno stevilo.