Ploskovni integral

O matematiki, številih, množicah in računih...
Post Reply
Medo5
Posts: 26
Joined: 8.2.2007 9:08
Location: Ljubljana
Contact:

Ploskovni integral

Post by Medo5 » 6.3.2009 19:07

Živjo!

Poskušam izračunati integral recipročnih razdalj od točke \((0,0,0)\) do kroga s središčem v \((x_0,y_0,h)\). Krog je poravna z osema \(x\) in \(y\), tako da \(h\) v resnici predstavlaja minimalno razdaljo od točke do ravnine v kateri se nahaja krog.

Problem sem spisal v kartezičnih koordinatah na takle način:
Območje D:
\((x-x_0)^2+(y-y0)^2 <= r^2\)

Funkcija:
\(\int_D {\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+h^2}}}\,dx\,dy\)

Sedaj pa tega ne na roke ne z pomočjo Mathematice ne znam izračunati. Sem sicer poskusil z opisom tako v kartezičnem kot cilindričnem koordinatnem sistemu, samo mi pri cilindričnih koordinatah meje postanejo izredno grde, pri kartezičnih pa se zaplete že notranji integral.

Hvaležen bi bil za vsako idejo oziroma že z izbiro koordinatnega sistema, saj mi problem na pogled ne izgleda tako težak da ne bi mogel biti analitično izračunljiv.

l.p.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Ploskovni integral

Post by Aniviller » 6.3.2009 19:38

Krog v kartezicnih koordinatah vedno producira grde meje. Pojdi v cilindricne koordinate (seveda je edino smiselno imeti cilindricne koordinate centrirane v krog, drugace nisi naredil nic):
\(\int_0^R\int_0^{2\pi}\frac{r}{|\vec{r}_0+\vec{r}|}d\phi\,dr\)
Upostevali smo, da je krog premaknjen:
\(\vec{r}_0=(x_0,y_0,h)\)
vektor v krogu pa kot vedno:
\(\vec{r}=(r\cos\phi,r\sin\phi,0)\)
Tale integral sem videl ze najmanj stokrat :) (gravitacija kroga,...) Sicer se vedno potencialno problematicen, ampak zintegrirat se da vsaj enega izmed integralov, v najslabsem primeru pa prides do elipticnih funkcij.
Last edited by Aniviller on 6.3.2009 21:17, edited 1 time in total.

Medo5
Posts: 26
Joined: 8.2.2007 9:08
Location: Ljubljana
Contact:

Re: Ploskovni integral

Post by Medo5 » 6.3.2009 20:54

Hvala za odgovor.

Vidim da sem vsaj podatke pravilno definiral problem :) ("Izpeljujem" električni potencial za poljubno točko v bližini naelektrene plošče....) .

Predvidevam pa, da je naboj enakomerno razporejen po ploskvi in bi zato uporabil še \(|J|\), ki je za cilindrične koordinate \(r\). Me zanima ali si na to pozabil ali po nepotrebnem kompliciram.

Mi je pa s podobno enačbo sproduciralo eliptične integrale in sem zaradi pomankanja matematičnega znanja sklepal, da le to ni pravilno.

Zanima me tudi ali pravilno sklepam da podani integral deluje le za točke čigar projekcija na (x,y) leži znotraj kroga, saj se v nasprotnem primeru spremenijo integralske meje pri kotu (namesto konstant postanejo \(g(r)\)).

l.p.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Ploskovni integral

Post by Aniviller » 6.3.2009 21:17

Ja seveda, jakobijan je obvezen (bom popravil)! Znano je, da elektricno polje okrogle plosce ni do konca izrazljivo z obicajnimi funkcijami (problem je identicen gravitacijskemu :) ). To je mogoce le za posebne primere (na osi, za v ravnini plosce pa nisem vec ziher). Pri postavitvi integrala nismo nikjer predpostavili lokacije \(\vec{r}_0\). Integriramo namrec po PLOSCI (r in fi sta samo polozaj tocke na plosci) - k polju za vsako tocko prispeva cela plosca. Mogoce imas malo tezav ce tocka lezi V PLOSCI, ker integriras cez pol. Vrednost je sicer koncna, vendar jo moras smatrat kot Cauchyjevo glavno vrednost integrala, pa tudi numericne metode za integracijo se spotaknejo ob singularnost.

Medo5
Posts: 26
Joined: 8.2.2007 9:08
Location: Ljubljana
Contact:

Re: Ploskovni integral

Post by Medo5 » 20.10.2009 19:35

Živjo!

Sem opazil, da je dani (ploskovni) problem prezahteven za moje matematično znanje, poleg vsega pa še neelementaren.

Ker pa vseeno moram izdelati neko nalogo danega tipa sem se poskusil omejiti na poljubne naboje/mase na neskončno tankem vodniku in njihovo električno/gravitacijsko polje.

Dodatna poenostavitev je še da imam naboje razporejene v ravnini (x,y).

Prišel sem do naslednjih enačb (kjer me zanima E), ki jih pišem zato da se mogoče že v njih najde napako:
\(x = x(t)\)
\(y = y(t)\)
\(f_{x}(x,y,y_{0}, x_{0}) = {{x-x_{0}} \over {((x-x_{0})^2 + (y-y_{0})^2)^{3/2} }}\)
\(f_{y}(x,y,y_{0}, x_{0}) = {{y-y_{0}} \over {((x-x_{0})^2 + (y-y_{0})^2)^{3/2} }}\)
\(f(t,x_{0},y_{0}) = f(x(t),y(t),y_{0}, x_{0})\)
\(ds = \sqrt{\dot{x(t)}^2 + \dot{y(t)}^2}dt\)
\(C^{-1} = l(t_{0}, t_{1}) = \int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\dot{x(t)}^2 + \dot{y(t)}^2}dt\)
\(F(t_{0}, t_{1}, x_{0}, y_{0}) = C * \int_{t_{0}}^{t_{1}}f(x(t),y(t), x_{0}, y_{0})\sqrt{\dot{x(t)}^2 + \dot{y(t)}^2}dt\)
\(E = \sqrt{F_{x}^2 + F_{y}^2}\)

Za primer:
\(x(t) = t\)
\(y(t) = a\)
\(t \in [-2a,2a]\)
Mi rezultat pride enak kot u knjigi s česar sklepam da je "sistem zgornjih enačb" pravilen.

Problem mi pa predstavlja to, da ne najdem nobenega drugega para funkcij (razen da sta obe linearni, s tem da je t na poljubnem območju), kjer bi bila funkcija E v splošen izračunljiva (s poljubnim parametrom x0 in y0). Zavedam se da je dani problem integralska funkcija z 2-ma parametroma in je stvar zelo hitro zapletena.

Poskusil pa sem funkcije oblik {(t^n, t^m), (sin(t), cos(t)), (t^n,cos(t))}

Sedaj prosim, da če kdo opazi napako v funkcijah napiše, kje se napaka nahaja.
Še bolj mi pa ustreza če kdo najde/pove ustrezen par, ki je tudi izračunljiv za poljubno točko v ravnini (razen na vodniku...).

l.p.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Ploskovni integral

Post by Aniviller » 20.10.2009 23:42

Od dalec izgleda v redu. Je pa logicno, da se skoraj za nobeno kombinacijo ne da zracunat. Integrali prakticno takoj postanejo neizracunljivi. Saj ze za okroglo zico naletis na dokaj hude probleme. Gravitacijski in sorodni problemi so posebno grdi zaradi korenov v imenovalcu. Pa pomisli se takole: imas neko poljubno krivuljo v prostoru: zdaj moras najti neko funkcijo, ki bo imela izvore na takem zavitem obmocju. Osnovne funkcije enostavno niso tako bogate.

Verjetno bi bilo malo bolj znosno, ce bi imel naravno parametrizirano krivuljo in bi izbiral gostoto naboja kot dodatno funkcijo zraven (ds=dt in das namesto korena nek ro(t)). Tam imas malo bolj prosto izbiro in lahko taktiziras tako, da izbiras porazdelitev gostote tako da se kaj pokrajsa - kaksen koren po moznosti.

Seveda to, da ni izracunljivo analiticno ni noben problem - te stvari se racuna numericno in v tem primeru na popolnoma razumljiv nacin: razdelis zico na odseke z nekim korakom dt in sestevas polje tockastih izvorov v teh odsekih. Napaka bo vidna samo v neposredni blizini zice in manjsi kot bodo odseki, boljsi bo priblizek.

Post Reply