Nimam rešitev. Aniviller, hitra pomoč!

[forumito]

Tudi Erdosove Knjige nimam.

Prosim (čimprej) preverite moje "rešitve" (kjer sploh nisem siguren so vprašaji "???"; prosim popravite me za vsako "malenkost", npr. napačna raba notacije, napačni grafi, karkoli ).

1.
(a) Zapiši zvezo med polarnima in kartezičnima koordinatama točke v ravnini.
\(x=r\cos\phi , y=r\sin\phi \Longleftrightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}, \phi=\arctan\frac{y}{x}\)
(b) Zapiši enačbo tangente na krivuljo, podano v polarnih koordinatah s predpisom \(r=r(\phi)\).
(Tuki nisem siguren. )
\(r^2=x^2+y^2=(r(\phi)\cos(\phi))^2+(r(\phi)\sin(\phi))^2\) (Zgolj izpeljava iz (a).)
Aniviller je nekje že napisal enačbo tangente. Mislim da je \(r+tr'; t\in\Re\)? Če je, kako še vpeljemo "predpis \(r=r(\phi)\)"? Tako: \(r(\phi)+tr(\phi)d\phi\)
(c) Zapiši enačbo tangente na krivuljo \(r=\phi\) v točki \(\phi=\frac{\pi}{2}\).
\(x=\frac{\pi}{2}\cos(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}, y=\frac{\pi}{2}\sin(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}\)
\(x'(\frac{\pi}{2})=(\frac{\pi}{2}\cos(\frac{\pi}{2}))'=-\frac{\pi}{2}\)
\(y'(\frac{\pi}{2})=(\frac{\pi}{2}\sin(\frac{\pi}{2}))'=\frac{\pi}{2}\cos(\frac{\pi}{2})=0\) (Tale 0 je čudna...)
Če je prav (\(y'\) je sumljiv ), potem naprej po "klasični" formuli premice. Kako lahko rešim neposredno v polarnih koordinatah (\(r=\sqrt{(r(\phi)\cos(\phi))^2+(r(\phi)\sin(\phi))^2}\), najbrž ne \(r'\) )
(d) Nariši krivuljo \(r=\phi\).


2. Nariši množico \(D=\{z|1\leq |z|\leq 2, Im(z) \geq 0, Re(z) \leq 0\}\) v \mathbb{C} ravnini. Kam se preslika množica \(D\) s preslikavo:
(a) \(f(z)=\overline{z}\)

???
(b) \(f(z)=e^{i\frac{\pi}{2}}z\)
\(=(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})z=iz=\overline{z}=\)(a) ???
(c) \(f(z)=z^2\)
\(=|z|^2e^{i2\phi}\); podvojitev dolžine in kota


3. Funkcija \(f(x)\) je vsota potenčne vrste \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-1)^n\) s konvergenčnim polmerom \(R=3\).
(a) Zapišite njeno def. območje. Ali je vrednost \(f(3)\) definirana? Kaj pa vrednost \(f(4)\)? In \(f''(3)\)?
\(D=(x_0-R, x_0+R)=(-2,4)\)
\(x=3\in D \Rightarrow f(3)\) je definirana
Pri \(f(4) \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty}3^na_n\) in po "kvocientem kriteriju" je \(\frac{3^{n+1}a_{n+1}}{3^na_n}=\frac{3a_{n+1}}{a_n} < 1 \Leftrightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}<\frac{1}{3}\) ???
Pripada, ker \(x=3\in D\) in je \(f(x)\) \(\infty\)-krat odvedljiva???
(b) Izračunaj vsoto vrste, če je \(a_n=\frac{1}{3^n}\). Določi def. območje.
\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}(x-1)^n=\)

Evo, tako se piše vprašanja.

[Aniviller]

1. ok. Mogoce je vredno omenit, da je pri arkus tangensu treba se +pi, ce je y<0 (ker je tangens enak za fi in za fi+pi).

b.
Parametricna enacba tangente je seveda zacetna tocka (krajevni vektor) plus smerni vektor (odvod krivulje) krat parameter. Parameter potem lahko eliminiras. Ni pa varno pisat r+tr', ker je r skalar. \(\vec{r}=\vec{r}(u)+t\vec{r'}(u)\) (tangenta na krivuljo pri parametru u). Se pravi
\(\{x,y\}=r(\phi)\{\cos\phi,\sin\phi\}\)\(+t(r'(\phi)\{\cos\phi,\sin\phi\}+r(\phi)\{-\sin\phi,\cos\phi\})\)
Za \(r=\phi\) to pride
\(\{x,y\}=\phi\{\cos\phi,\sin\phi\}+t(\{\cos\phi,\sin\phi\}+\phi\{-\sin\phi,\cos\phi\})\)

Zdaj lahko poskusas dobit eksplicitno obliko ampak mislim da tole zadosca.

c) ja, isti problem. Misljen je krajevni vektor. Tvoj r je nekaj drugega.

2 a) ok.
b) \({\rm i}z\neq \overline{z}\)
Kaj pocne mnozenje z \(e^{i\frac{\pi}{2}}\) postane ocitno, ce z zapises v polarnem:
\(e^{i\frac{\pi}{2}}z=e^{i\frac{\pi}{2}}|z|e^{i\phi}=|z|e^{i(\phi+\pi/2)}\)
Mnozenje s tem faktorjem zavrti okrog izhodisca za cetrt obrata v pozitivno smer.

c) ja, podvojitev kota in KVADRIRANJE dolzine. slika ni ok! Ce kot podvojis, je obmocje od \(\pi/2\) do \(\pi\) preslikano v obmocje od \(\pi\) do \(2\pi\). Tudi izsek obsega potem dvakrat vecji kot.

3.
Definicijsko obmocje: odprt ali zaprt interval je jasno sele, ko pogledas konvergenco na robu. Tako da ker ni podan \(a_n\) je res najbolje podat odprt interval. Za f(4) mislim da je dovolj ze da poves, da tam konvergenca ni absolutna in je od koeficientov odvisno ali konvergira ali ne.
Odvodi imajo vedno isto definicijsko obmocje kot osnovna vrsta.

b) No, to je pa geometrijska vrsta.
\(q=\frac{x-1}{3}\)
\(\sum=\frac{1}{1-q}=\frac{3}{2-x}\)
Konvergencni kriterij: \(|q|<1\).

Dovolj hitro?

[forumito]

\(\vec{r}=\vec{r}(u)+t\vec{r'}(u)\) (tangenta na krivuljo pri parametru u). Se pravi
\(\{x,y\}=r(\phi)\{\cos\phi,\sin\phi\}\)\(+t(r'(\phi)\{\cos\phi,\sin\phi\}+r(\phi)\{-\sin\phi,\cos\phi\})\)

Je \(\big(r'(\phi)\{\cos\phi,\sin\phi\}+r(\phi)\{-\sin\phi,\cos\phi\}\big)\) enako \(\big(x'(\phi), y'(\phi)\big)=\big(r'(\phi)\cos\phi-r(\phi)\sin\phi, r'(\phi)\sin\phi+r'(\phi)\cos\phi\big)\) Če je, zakaj?

2b) \({\rm i}z\neq \overline{z}\)
Mnozenje s tem faktorjem zavrti okrog izhodisca za cetrt obrata v pozitivno smer.

Slika pa je vseeno OK?

Dovolj hitro?

Dovolj.

[Aniviller]

No, slika je res pri 2b enaka ampak samo zato ker samo narises obris obmocja. Posamicne tocke pa so preslikane drugace.

Je \big(r'(\phi)\{\cos\phi,\sin\phi\}+r(\phi)\{-\sin\phi,\cos\phi\}\big) enako \big(x'(\phi), y'(\phi)\big)=\big(r'(\phi)\cos\phi-r(\phi)\sin\phi, r'(\phi)\sin\phi+r'(\phi)\cos\phi\big) Če je, zakaj?

Ja clena sta odvod prvega krat drugi plus ..., kar lahko sestejes po komponentah.

Drugace pa je krajevni vektor tvoje tocke na krivulji
\(\vec{r}(\phi)=\{x(\phi),y(\phi)\}\)
Odvod krajevnega vektorja je vektor v smeri tangente!