Pozdravljeni!
Prosila bi za razlago: kako določimo točke nezveznosti in kako vemo, da je funkcija zvezna/nezvezna?
Če bi bilo mogoče, bi prosila tudi za primere.
Najlepše se zahvaljujem!
Lp
Zveznost funkcije
Re: Zveznost funkcije
Končno neki, ko nisem pozabil. Če se prav spomnim more bit prvi odvod v točki iz obeh straneh enak!
Če ni se funkcija lomi torej ni zvezna.
Če ni se funkcija lomi torej ni zvezna.
Re: Zveznost funkcije
Ja, graf ne sme bit pretrgan. Tud signum je nezvezna funkcija npr.
Re: Zveznost funkcije
Funkcija je v neki točki zvezna, če ima njena limita v tej točki funkcijsko vrednost.
To pa seveda pomeni, da če ima funkcija v neki točki vrednost npr. 3, mora limita iz leve in desne imeti to enako vrednost...
To pa seveda pomeni, da če ima funkcija v neki točki vrednost npr. 3, mora limita iz leve in desne imeti to enako vrednost...
Re: Zveznost funkcije
kako bi vi rešili to nalogo? Prvo limito sem poračunal s pomočjo l'Hopitalovega pravila. Limite funkcije, ki je definirana na \(\pi < x < 3\pi\) pa ne znam izpeljati.
Zdi pa se mi tudi, da je definicijsko območje nekolikanj čudno postavljeno.
Re: Zveznost funkcije
Na obeh sticiscih podas pogoj, da mora biti limita enaka podani vrednosti, pa dobis 2 enacbi za neznanki a in b.
Obe limiti moras izvest pri x=pi. Na levi imas limito oblike 0/0, za katero si opazil, da je resljiva z l'H-jem:
\(\displaystyle\lim_{x\to \pi}\frac{a\sin x-b\cos \frac{x}{2}}{\tan 3x}\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to \pi}\frac{a\cos x+\frac b2\sin \frac{x}{2}}{3\cos^{-2} 3x}=\frac{-a+b/2}{3}\)
Druga limita je tipa 0*neskoncno, kar je spet resljivo z l'H-jem, ce neses tangens v imenovalec in naredis 0/0.
\(\displaystyle\lim_{x\to \pi}2a(x-\pi)\tan\frac x 2 + b=\)
\(\displaystyle\lim_{x\to \pi}2a\frac{x-\pi}{\tan^{-1}\frac x 2} + b=\)
\(\displaystyle\lim_{x\to \pi}2a\frac{1}{-\frac{1}{2}\sin^{-2}\frac x 2} + b=-4a+b\)
Mogoce se lazje prides skozi, ce takoj menjas spremenljivko v x=pi+h in uporabis vse zveze, ki jih poznas zaradi periodicnosti trigonometricnih funkcij. Dobljena zadeva se da lepo razvit po Taylorju okrog h=0, tako da niti odvajat ni treba.
Resitev je a=5/2 in b=11.
Obe limiti moras izvest pri x=pi. Na levi imas limito oblike 0/0, za katero si opazil, da je resljiva z l'H-jem:
\(\displaystyle\lim_{x\to \pi}\frac{a\sin x-b\cos \frac{x}{2}}{\tan 3x}\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to \pi}\frac{a\cos x+\frac b2\sin \frac{x}{2}}{3\cos^{-2} 3x}=\frac{-a+b/2}{3}\)
Druga limita je tipa 0*neskoncno, kar je spet resljivo z l'H-jem, ce neses tangens v imenovalec in naredis 0/0.
\(\displaystyle\lim_{x\to \pi}2a(x-\pi)\tan\frac x 2 + b=\)
\(\displaystyle\lim_{x\to \pi}2a\frac{x-\pi}{\tan^{-1}\frac x 2} + b=\)
\(\displaystyle\lim_{x\to \pi}2a\frac{1}{-\frac{1}{2}\sin^{-2}\frac x 2} + b=-4a+b\)
Mogoce se lazje prides skozi, ce takoj menjas spremenljivko v x=pi+h in uporabis vse zveze, ki jih poznas zaradi periodicnosti trigonometricnih funkcij. Dobljena zadeva se da lepo razvit po Taylorju okrog h=0, tako da niti odvajat ni treba.
Resitev je a=5/2 in b=11.