Zdravo, spet potrebujem vašo pomoč. Zanima me namreč tale naloga:
Poišci najmanjše naravno število, tako da je za vse indekse n, ki so vecji ali enaki temu števulu,
absolutna vrednost razlike med limito in n-tim clenom manjša kot 0.01. N-ti clen je podan z izrazom:
\(\frac{sqrt[n]-1}{2sqrt[n]+1}\)
Izračunam limito, ki je \(\frac{1}{2}\)
Potem računam naprej tako, da imam na levi strani rezultat limite - začetna enačba < 1/100
Naprej se pa potem zatakne in ne znam več, tako, da bi prosil za postopek.
Hvala lepa!
Pomoč
Re: Pomoč
Živ, tudi jaz imam 2 vprašanji:
imamo funkcijo: \(f(x)= \frac{2e^\frac{1}{2x}+a}{\sqrt{a^{2}-1+e^\frac{1}{x}}}\)
1.) Za katere vrednosti parametra a je mogoče funkcijo zvzezno razširiti v 0
2.) za katere vrednosti parametra a je mogoče funkcijo zvezno razširiti na R
ter kako se izračuna vsota take vrste:
\(\sum_{n=2}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{n}}{(n-1)n}\)
imamo funkcijo: \(f(x)= \frac{2e^\frac{1}{2x}+a}{\sqrt{a^{2}-1+e^\frac{1}{x}}}\)
1.) Za katere vrednosti parametra a je mogoče funkcijo zvzezno razširiti v 0
2.) za katere vrednosti parametra a je mogoče funkcijo zvezno razširiti na R
ter kako se izračuna vsota take vrste:
\(\sum_{n=2}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{n}}{(n-1)n}\)
Re: Pomoč
\(f(x)=\sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{x^n}{(n-1)n}\)
\(f'(x)=\sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{x^{n-1}}{n-1}\)
\(f''(x)=\sum_{n=2}^\infty (-1)^n x^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty (-x)^n=\frac{1}{1+x}\)
\(f'(x)=\log (1+x)+C\); vstavimo x=0 in dobimo C=0.
\(f(x)=(x+1)\log(x+1)-x+D\); spet dobimo D=0.
opomba: to velja za x>-1; prvotna vrsta sicer ponvergira za vse realne x, vendar v tem primeru velja \(f'(x)=\log |1+x|\), integral tega pa ni prav nič lep.
\(f'(x)=\sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{x^{n-1}}{n-1}\)
\(f''(x)=\sum_{n=2}^\infty (-1)^n x^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty (-x)^n=\frac{1}{1+x}\)
\(f'(x)=\log (1+x)+C\); vstavimo x=0 in dobimo C=0.
\(f(x)=(x+1)\log(x+1)-x+D\); spet dobimo D=0.
opomba: to velja za x>-1; prvotna vrsta sicer ponvergira za vse realne x, vendar v tem primeru velja \(f'(x)=\log |1+x|\), integral tega pa ni prav nič lep.
Re: Pomoč
Jurij, ena pripomba. Taylorjeva vrsta ne more konvergirat cez pol in ne more nikoli dati nic drugega kot neskoncnokrat odvedljivo funkcijo. Torej, absolutne vrednosti odpadejo, vedno lahko integriras brez skrbi po tabelah, vedno se drzi celo def. obmocje v enem kosu.
Torej - prvotna vrsta definitivno ne konvergira za vse realne x. Kvecjemu za |x|<1. Odvajanje in integriranje nikoli ne spremeni definicijskega obmocja Taylorjeve vrste in f'' je geometrijska vrsta s konvergencnim radijem 1.
Torej - prvotna vrsta definitivno ne konvergira za vse realne x. Kvecjemu za |x|<1. Odvajanje in integriranje nikoli ne spremeni definicijskega obmocja Taylorjeve vrste in f'' je geometrijska vrsta s konvergencnim radijem 1.
Re: Pomoč
Ja ce jo prepoznas kot znano vrsto, jo znas sestet - vrsto na suho sestet je delo pravih matematikov ker ni nekega recepta ponavadi.
Trik je v prepoznavanju najrazlicnejsih operacij na vrsti - recimo pri tvoji vrsti vidis, da bo odvajanje ravno pokrajsalo imenovalec. Potem vcasih je pametno kak "x" izpostavit iz cele vrste, da lahko naredis isto (ce se cleni, ki pridejo ven z odvodom / integralom ne ujemajo cisto in moras potenco spremenit). Ponavadi pristanes potem na kaksni geometrijski vrsti (ni nujno da z "x", lahko tudi z "x^2" ali se kaksnimi dodatnimi faktorji zraven - recimo 1+x^2+x^4+x^6 ali kaj takega).
Pa seveda eksponentne, sinusne, konsinusne ne pozabit. Pa logaritemsko je tudi pametno vedet na pamet, ce prav tisto ponavadi lahko ravno na ta nacin izracunas - z odvajanjem.
Ko dobis znano vrsto, je takoj znano kaksen je njen konvergencni radij (exp,sin,cos neskoncno, geometrijska pa |q|<1, kjer je q faktor pri geometrijski vrsti) - mnozenje z dodatnimi faktorji, odvajanje in integriranje ne spremeni konvergencnega radija tako da lahko zakljucis da je ta za tvojo vrsto ravno tak.
Trik je v prepoznavanju najrazlicnejsih operacij na vrsti - recimo pri tvoji vrsti vidis, da bo odvajanje ravno pokrajsalo imenovalec. Potem vcasih je pametno kak "x" izpostavit iz cele vrste, da lahko naredis isto (ce se cleni, ki pridejo ven z odvodom / integralom ne ujemajo cisto in moras potenco spremenit). Ponavadi pristanes potem na kaksni geometrijski vrsti (ni nujno da z "x", lahko tudi z "x^2" ali se kaksnimi dodatnimi faktorji zraven - recimo 1+x^2+x^4+x^6 ali kaj takega).
Pa seveda eksponentne, sinusne, konsinusne ne pozabit. Pa logaritemsko je tudi pametno vedet na pamet, ce prav tisto ponavadi lahko ravno na ta nacin izracunas - z odvajanjem.
Ko dobis znano vrsto, je takoj znano kaksen je njen konvergencni radij (exp,sin,cos neskoncno, geometrijska pa |q|<1, kjer je q faktor pri geometrijski vrsti) - mnozenje z dodatnimi faktorji, odvajanje in integriranje ne spremeni konvergencnega radija tako da lahko zakljucis da je ta za tvojo vrsto ravno tak.
Me pa zanima, je pri tej nalogi rezultat 199, besedilo je enako kot pri prejšnji.