eksponentna enačba

O matematiki, številih, množicah in računih...
superca
Posts: 127
Joined: 24.7.2010 17:34

eksponentna enačba

Post by superca » 24.7.2010 21:27

mi lahko kdo tole razloži ... mamo enačbo

2 ^x+2 + 4*5 ^x + 3*5^ x-1 = 5^ x+1 + 3*2 ^x-1
2 ^x+2 - 3*2 ^x-1= 5^ x+1 - 4*5 ^x- 3*5^ x-1

izpostavimo ... 2^ x-1 (2^3 -3) = 5^x-1 (5^2 -4*5-3)
5* 2 ^x-1 = 2* 5^ x-1

enačbo delimo z 10 (=2*5)
2^ x-1 : 2 = 5^x-1 : 5
ali 2^x-2 = 5^x-2 ????? od kje dobimo x-2 ?? tega ne razumem

in x= 2

User avatar
system32
Posts: 61
Joined: 8.7.2008 16:40

Re: eksponentna enačba

Post by system32 » 24.7.2010 21:39

a ni tako?... \(\frac{5^x^-^1}{5^1} = 5^x^-^1^-^1 = 5^x^-^2\)

User avatar
system32
Posts: 61
Joined: 8.7.2008 16:40

Re: eksponentna enačba

Post by system32 » 24.7.2010 21:46

\(2^x^-^2 = 5^x^-^2\)
logaritmiraš in dobiš
\((x-2)log2 = (x-2)log5\)
\(xlog2 - 2log2 = xlog5 - 2log5\)
izpostaviš x in dobiš:
\(x(log2 - log5) = 2(log2 - log5)\)
\(x = 2\)

superca
Posts: 127
Joined: 24.7.2010 17:34

Re: eksponentna enačba

Post by superca » 24.7.2010 22:19

ej hvala !! :)
no imam še ...

primer : 9^ koren x = 3 ^x+1 rešitev je 1

in pa tale logaritem .... log(2a+3) + log 5a -2log(3-a)=1

hvala za pomoč :)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: eksponentna enačba

Post by Aniviller » 24.7.2010 22:40

Prva:
\(3^{2\sqrt{x}}=3^{x+1}\)
logaritmiras (oz. samo odstranis osnove in gledas enakost eksponentov). Potem kvadriras, dobis kvadratno enacbo, ki se jo da razstavit.

Pri logaritmu pa tudi samo das pod isti algoritem (+ gre v mnozenje, minus v deljenje)
\(\log\frac{(2a+3)(5a)}{(3-a)^2}=1\)
Zdaj samo antilogaritmiras, naprej pa ni tezav.

User avatar
system32
Posts: 61
Joined: 8.7.2008 16:40

Re: eksponentna enačba

Post by system32 » 24.7.2010 22:43

no ja..priporočal bi ti da si pogledaš pravila kot je na primer tole:
\(a^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a}\)

oziroma

\(a^\frac{m}{n} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a}^m\)

Poglej si tudi pravila za računanje z logaritmi:

http://sl.wikipedia.org/wiki/Logaritem

\(3^x^+^1 = 9^\sqrt{x}\)
\(3^x^+^1 = 3^2^\sqrt{x}\)
ok osnova je zdaj enaka, zato lahko zapišeš:
\(x+1 = 2\sqrt{x}\)
kvadriraš in dobiš...
\((x-1)^2 = 0\)
kar je dejansko dvojna ničla \(x_1_,_2 =1\)

superca
Posts: 127
Joined: 24.7.2010 17:34

Re: eksponentna enačba

Post by superca » 24.7.2010 22:53

ok ..sm unega kvadriranja pa ne štekam
od kje dobiš kr (x-1 ) in uno ničlo.
zakaj ne kvadriraš 2-ke pred korenom?

to mi ni jasno (eni smo bol kratke pameti pa potrebujemo razlago )

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: eksponentna enačba

Post by Aniviller » 24.7.2010 22:59

Saj jo kvadriras. Vse ti bo jasno ce operacijo izvedes sam.

\(2\sqrt{x}=x+1\)
\(4x=x^2+2x+1\)
\(x^2-2x+1=0\)
\((x-1)^2=0\)

superca
Posts: 127
Joined: 24.7.2010 17:34

Re: eksponentna enačba

Post by superca » 24.7.2010 23:08

kaj pr logaritmu .. če nadaljujem od tam ko je že začet primer

ti potm pride ... ko zmnožiš in kvadriraš...

10a^2 +15a / 9-6a+a^2 =1

in potm naprej ??

kaj 1ko pomnožim s 9-6a+a^2

pa dobim 10a^2 +15a-9+6a-a^2 = 0

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: eksponentna enačba

Post by Aniviller » 24.7.2010 23:12

Kaj s cim mnozis? Karkoli naredis moras narediti obem stranem enacbe drugace je narobe.

Ce isces a, potem je enostavno. Dobil si kvadratno enacbo, uporabi znano formulo in dobis obe resitvi.

Aja... ko odpravis logaritem, na desni ne dobis 1 ampak osnovo logaritma!

superca
Posts: 127
Joined: 24.7.2010 17:34

Re: eksponentna enačba

Post by superca » 24.7.2010 23:18

(2a+3) * 5a množiš

am 1ko logaritmiraš in dobiš 10 al kako

User avatar
system32
Posts: 61
Joined: 8.7.2008 16:40

Re: eksponentna enačba

Post by system32 » 24.7.2010 23:24

če imaš \(log\frac{5a(2a+3)}{(3-a)^2} = 1\)
Gre za logaritem z osnovo 10. Torej, uporabiš algebrsko definicijo logaritma \(log_a x = y\)
Kar se zapiše tudi kot: \(a^y = x\)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: eksponentna enačba

Post by Aniviller » 24.7.2010 23:26

Aha... ja, ce je desetiski logaritem, dobis desetko. In potem odpravis ulomke (mnozis obe strani z imenovalcem).

superca
Posts: 127
Joined: 24.7.2010 17:34

Re: eksponentna enačba

Post by superca » 25.7.2010 11:58

kaj pa tale primer

7^ x+1 -2* 5^ 2x-2 = 5^ 2x-1 + 2 * 7^x

narediš ... 7^x+1 - 2*7^x = 5^ 2x-1 + 2 * 5 ^ 2x-2

izpostaviš 7^x ( 7 -2) = 5^ 2x-2 ( 5 + 2)

7^ x (5) = 5^ 2x-2 (7)

deliš 7^x : 7 in 5^ 2x-2 : 5

7^x / 7 = 7^x-1
5^2x-2 / 5 = 5^ 2x-2-1 => 5^ 2x-3 sledi ... (x-1)log 7 = (2x-3) log 5
x log 7 - log7 = 2x log 5 - 3 log 5

in kaj naprej?? => x log 7 / log 7 = 2x log 5 / 3log 5
al kako ?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: eksponentna enačba

Post by Aniviller » 25.7.2010 12:51

Tole kar pises je zelo nepregledno... vsaj oklepaje daj za eksponente, da ne bo dvoumno. Drugace je postopek pravilen.
\(7^{x+1}-2\cdot 5^{2x-2}=5^{2x-1}+2\cdot 7^x\)
\(7^{x+1}-2\cdot 7^x=5^{2x-1}+2\cdot 5^{2x-2}\)
\(7^{x}(7-2)=5^{2x-2}(5+2)\)
Zdaj imas na levi 5 v oklepaju in na desni 7, lahko jih neses na drugo stran, da bodo 7 skupaj in 5 skupaj.
\(7^{x-1}=5^{2x-3}\)
Zdaj logaritmiras:
\((x-1)\log 7=(2x-3)\log 5\)
Zdaj samo das na eno stran in izrazis x:
\(x(\log 7-2\log 5)=\log 7-3\log 5\)
\(x=\frac{\log 7-3\log 5}{\log 7-2\log 5}\)
Lahko tako pustis, lahko pa poskusis se kaj polepsat.

Post Reply