eksponentna enačba

[superca]

mi lahko kdo tole razloži ... mamo enačbo

2 ^x+2 + 4*5 ^x + 3*5^ x-1 = 5^ x+1 + 3*2 ^x-1
2 ^x+2 - 3*2 ^x-1= 5^ x+1 - 4*5 ^x- 3*5^ x-1

izpostavimo ... 2^ x-1 (2^3 -3) = 5^x-1 (5^2 -4*5-3)
5* 2 ^x-1 = 2* 5^ x-1

enačbo delimo z 10 (=2*5)
2^ x-1 : 2 = 5^x-1 : 5
ali 2^x-2 = 5^x-2 ????? od kje dobimo x-2 ?? tega ne razumem

in x= 2

[system32]

a ni tako?... \(\frac{5^x^-^1}{5^1} = 5^x^-^1^-^1 = 5^x^-^2\)

[system32]

\(2^x^-^2 = 5^x^-^2\)
logaritmiraš in dobiš
\((x-2)log2 = (x-2)log5\)
\(xlog2 - 2log2 = xlog5 - 2log5\)
izpostaviš x in dobiš:
\(x(log2 - log5) = 2(log2 - log5)\)
\(x = 2\)

[superca]

ej hvala !!
no imam še ...

primer : 9^ koren x = 3 ^x+1 rešitev je 1

in pa tale logaritem .... log(2a+3) + log 5a -2log(3-a)=1

hvala za pomoč

[Aniviller]

Prva:
\(3^{2\sqrt{x}}=3^{x+1}\)
logaritmiras (oz. samo odstranis osnove in gledas enakost eksponentov). Potem kvadriras, dobis kvadratno enacbo, ki se jo da razstavit.

Pri logaritmu pa tudi samo das pod isti algoritem (+ gre v mnozenje, minus v deljenje)
\(\log\frac{(2a+3)(5a)}{(3-a)^2}=1\)
Zdaj samo antilogaritmiras, naprej pa ni tezav.

[system32]

no ja..priporočal bi ti da si pogledaš pravila kot je na primer tole:
\(a^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a}\)

oziroma

\(a^\frac{m}{n} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a}^m\)

Poglej si tudi pravila za računanje z logaritmi:

http://sl.wikipedia.org/wiki/Logaritem

\(3^x^+^1 = 9^\sqrt{x}\)
\(3^x^+^1 = 3^2^\sqrt{x}\)
ok osnova je zdaj enaka, zato lahko zapišeš:
\(x+1 = 2\sqrt{x}\)
kvadriraš in dobiš...
\((x-1)^2 = 0\)
kar je dejansko dvojna ničla \(x_1_,_2 =1\)

[superca]

ok ..sm unega kvadriranja pa ne štekam
od kje dobiš kr (x-1 ) in uno ničlo.
zakaj ne kvadriraš 2-ke pred korenom?

to mi ni jasno (eni smo bol kratke pameti pa potrebujemo razlago )

[Aniviller]

Saj jo kvadriras. Vse ti bo jasno ce operacijo izvedes sam.

\(2\sqrt{x}=x+1\)
\(4x=x^2+2x+1\)
\(x^2-2x+1=0\)
\((x-1)^2=0\)

[superca]

kaj pr logaritmu .. če nadaljujem od tam ko je že začet primer

ti potm pride ... ko zmnožiš in kvadriraš...

10a^2 +15a / 9-6a+a^2 =1

in potm naprej ??

kaj 1ko pomnožim s 9-6a+a^2

pa dobim 10a^2 +15a-9+6a-a^2 = 0

[Aniviller]

Kaj s cim mnozis? Karkoli naredis moras narediti obem stranem enacbe drugace je narobe.

Ce isces a, potem je enostavno. Dobil si kvadratno enacbo, uporabi znano formulo in dobis obe resitvi.

Aja... ko odpravis logaritem, na desni ne dobis 1 ampak osnovo logaritma!

[superca]

(2a+3) * 5a množiš

am 1ko logaritmiraš in dobiš 10 al kako

[system32]

če imaš \(log\frac{5a(2a+3)}{(3-a)^2} = 1\)
Gre za logaritem z osnovo 10. Torej, uporabiš algebrsko definicijo logaritma \(log_a x = y\)
Kar se zapiše tudi kot: \(a^y = x\)

[Aniviller]

Aha... ja, ce je desetiski logaritem, dobis desetko. In potem odpravis ulomke (mnozis obe strani z imenovalcem).

[superca]

kaj pa tale primer

7^ x+1 -2* 5^ 2x-2 = 5^ 2x-1 + 2 * 7^x

narediš ... 7^x+1 - 2*7^x = 5^ 2x-1 + 2 * 5 ^ 2x-2

izpostaviš 7^x ( 7 -2) = 5^ 2x-2 ( 5 + 2)

7^ x (5) = 5^ 2x-2 (7)

deliš 7^x : 7 in 5^ 2x-2 : 5

7^x / 7 = 7^x-1
5^2x-2 / 5 = 5^ 2x-2-1 => 5^ 2x-3 sledi ... (x-1)log 7 = (2x-3) log 5
x log 7 - log7 = 2x log 5 - 3 log 5

in kaj naprej?? => x log 7 / log 7 = 2x log 5 / 3log 5
al kako ?

[Aniviller]

Tole kar pises je zelo nepregledno... vsaj oklepaje daj za eksponente, da ne bo dvoumno. Drugace je postopek pravilen.
\(7^{x+1}-2\cdot 5^{2x-2}=5^{2x-1}+2\cdot 7^x\)
\(7^{x+1}-2\cdot 7^x=5^{2x-1}+2\cdot 5^{2x-2}\)
\(7^{x}(7-2)=5^{2x-2}(5+2)\)
Zdaj imas na levi 5 v oklepaju in na desni 7, lahko jih neses na drugo stran, da bodo 7 skupaj in 5 skupaj.
\(7^{x-1}=5^{2x-3}\)
Zdaj logaritmiras:
\((x-1)\log 7=(2x-3)\log 5\)
Zdaj samo das na eno stran in izrazis x:
\(x(\log 7-2\log 5)=\log 7-3\log 5\)
\(x=\frac{\log 7-3\log 5}{\log 7-2\log 5}\)
Lahko tako pustis, lahko pa poskusis se kaj polepsat.