Delta in Fourierova transformacija

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
drevo
Prispevkov: 49
Pridružen: 5.1.2007 21:17

Delta in Fourierova transformacija

Odgovor Napisal/-a drevo » 9.9.2010 12:59

Najprej bom na hitro izpeljal en izraz za Diracovo delto, potem pa sledi vprašanje v zvezi z njo. Iz definicije Diracove delte

\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-\tau) f(t) dt = f(\tau)\)

sledi, da je Fourierova transformiranka delte

\(\Delta(\nu) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-2\pi i t \nu} dt = e^0 = 1\).

Z uporabo inverzne Fourierove transformacije vidim, da je

\(\delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \Delta(\nu) e^{2\pi i t \nu} d\nu = \int_{-\infty}^{\infty} e^{2\pi i t \nu} d\nu\).

Vprašanje je pa sledeče: Kako razumeti ta izraz za delto ( \(\delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{2\pi i t \nu} d\nu\) )? \(\delta(t)\) naj bi bila namreč funkcija, ki je pri \(t=0\) "neskončna", drugje pa nič. Za \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{2\pi i t \nu} d\nu\) sicer velja, da pri 0 divergira, ampak pri drugih vrednostih t-ja pa izlimitirani integral sploh ne obstaja. Kako je s tem??

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Delta in Fourierova transformacija

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 9.9.2010 14:34

Vse v zvezi z delta funkcijo so posploseni integrali ki formalno ne konvergirajo (saj ze sama delta funkcija ni funkcija). Tako da racunas formalisticno izven uradne konvergence.

Matematicni pogled na to je, da delta funkcija ni prava funkcija in nastopa samo kot porazdelitev (torej ne obstaja zunaj integrala). Edino nastopanje delta funkcije je lahko tako da si mislis pri tem zapisu okrog se en integral \(\int_{-\infty}^\infty \ldots{\rm d}t\) ki ga formalno ne pises.

V tem primeru sploh ne govorimo o zvezi
\(\delta(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}{\rm d}\omega\)
ampak obstaja samo v obliki
\(\int_{-\infty}^\infty \delta(t-\tau){\rm d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{i\omega (t-\tau)}{\rm d}\omega{\,\rm d}t=1\)

Drug aspekt tega je, da se pri Fourierovih transformacijah funkcij kjer uradno integrali ne konvergirajo, tiho privzame da v resnici govorimo o limiti:
\(\lim_{\epsilon\to0}\int_{-\infty}^\infty f(\omega) e^{i\omega t}e^{-\epsilon \omega}{\rm d \omega}\)

Na primeru delta funkcije to pomeni sledece: pri t=0 imajo vse harmonicne komponente vrednost 1 in se sestejejo v neskoncno spico. Pri vseh ostalih vrednostih pa harmonske komponente zavzamejo oscilatoricno vse mozne vrednosti in se izpovprecijo v 0. Vrsta seveda ne konvergira (podobno kot -1+1-1+1-1+1...) ampak ce si zraven mislis pocasi pojemajoc eksponenten clen in ga izlimitiras proti nic, dobis neke vrste posplositev, ki velja tudi ce formalno integrali ne obstajajo.

drevo
Prispevkov: 49
Pridružen: 5.1.2007 21:17

Re: Delta in Fourierova transformacija

Odgovor Napisal/-a drevo » 9.9.2010 15:36

Aniviller napisal/-a:Vse v zvezi z delta funkcijo so posploseni integrali ki formalno ne konvergirajo (saj ze sama delta funkcija ni funkcija). Tako da racunas formalisticno izven uradne konvergence.

Matematicni pogled na to je, da delta funkcija ni prava funkcija in nastopa samo kot porazdelitev (torej ne obstaja zunaj integrala). Edino nastopanje delta funkcije je lahko tako da si mislis pri tem zapisu okrog se en integral \(\int_{-\infty}^\infty \ldots{\rm d}t\) ki ga formalno ne pises.
Za kakšne integrale pa pravzaprav gre pri porazdelitvah? Če prav razumem, v

\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-\tau) f(t) dt = f(\tau)\)

integralski znak ne pomeni klasičnega (Riemann-ovega ali Lebesgue-ovega) integrala, ampak čisto svoj tip integrala, recimo mu "delta integral", ki je funkcional definiran z zvezo

\(\left\langle\delta, \varphi \righ\rangle = \varphi(0)\),

kjer je \(\varphi\) lepa testna funkcija.
Aniviller napisal/-a: Drug aspekt tega je, da se pri Fourierovih transformacijah funkcij kjer uradno integrali ne konvergirajo, tiho privzame da v resnici govorimo o limiti:
\(\lim_{\epsilon\to0}\int_{-\infty}^\infty f(\omega) e^{i\omega t}e^{-\epsilon \omega}{\rm d \omega}\)

Na primeru delta funkcije to pomeni sledece: pri t=0 imajo vse harmonicne komponente vrednost 1 in se sestejejo v neskoncno spico. Pri vseh ostalih vrednostih pa harmonske komponente zavzamejo oscilatoricno vse mozne vrednosti in se izpovprecijo v 0. Vrsta seveda ne konvergira (podobno kot -1+1-1+1-1+1...) ampak ce si zraven mislis pocasi pojemajoc eksponenten clen in ga izlimitiras proti nic, dobis neke vrste posplositev, ki velja tudi ce formalno integrali ne obstajajo.
Zanimivo.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Delta in Fourierova transformacija

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 9.9.2010 16:06

Ponekod se ga steje pod posplosene Lebesguove integrale, ceprav mislim da formalno gre za Stieltjesov integral.

Glede sestevanja divergentnih vrst imamo tudi celo teorijo (Zeta regularizacija). Tako lahko pripises vrsti vsoto tudi ce v resnici ne obstaja. To gre na podoben nacin kot pri taylorjevih vrstah izven obmocja. Na ta nacin recimo definiras
\(1+2+4+8+\cdots=\frac{1}{1-2}=-1\)
(formalno je geometrijska vrsta, ceprav bi tezko bolj divergirala).
Po isti logiki je tale vrsta
\(1-1+1-1+1\cdots=\frac{1}{2}\)

sanej
Prispevkov: 71
Pridružen: 25.8.2010 18:00

Re: Delta in Fourierova transformacija

Odgovor Napisal/-a sanej » 14.9.2014 15:36

živjo, mene pa zanima glede na zgornje razpravljanje

ali izraz 1) \(\int_{-\infty}^{\infty} \delta( t - \tau) f(t) \mathrm{d}t = f(\tau)\) velja v splošnem ??

ker če poskusim izračunati \(\int_{-\infty}^{\infty} \delta( \omega - \omega_0) e^{i\omega t} \mathrm{d}\omega = \dot\)
nekako vedno dobim nič.

Ko pa sem ta izraz vnesel v wolfram alpha pa izpljune rezulta\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta( \omega - \omega_0) e^{i\omega t} \mathrm{d}\omega = e^{i\omega_0 t}\)

kar se pa ujema z izrazom 1).
Hvala in lp

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14376
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Delta in Fourierova transformacija

Odgovor Napisal/-a shrink » 14.9.2014 19:21

sanej napisal/-a:živjo, mene pa zanima glede na zgornje razpravljanje

ali izraz 1) \(\int_{-\infty}^{\infty} \delta( t - \tau) f(t) \mathrm{d}t = f(\tau)\) velja v splošnem ??

ker če poskusim izračunati \(\int_{-\infty}^{\infty} \delta( \omega - \omega_0) e^{i\omega t} \mathrm{d}\omega = \dot\)
nekako vedno dobim nič.
Ja, to je osnovna lastnost delta funkcije; glej npr.:

http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html

To zlahka dokažeš z upoštevanjem definicije delta funkcije kot limite:

\(\displaystyle \delta(t)=\lim_{a \to 0} \frac{u(t)-u(t-a)}{a}\),

kjer je \(u(t)\) enotska koračna funkcija in delta funkcija je pravzraprav odvod te funkcije (kot je omenjeno tudi v gornjem linku).
Ko pa sem ta izraz vnesel v wolfram alpha pa izpljune rezulta\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta( \omega - \omega_0) e^{i\omega t} \mathrm{d}\omega = e^{i\omega_0 t}\)

kar se pa ujema z izrazom 1).
V bistvu se ujema, ampak gre za drugo spremenljivko, po kateri se integrira; namesto po \(t\) po \(\omega\), namesto \(\tau\) je \(\omega_0\), sam \(t\) pa je v tem primeru zgolj neka konstanta.

Odgovori