Odvod in integral

[tanjuska2222]

Zanima me kako se odvajata in integrirata cos^2(x) in sin^2(x).

Hvala in LP, T.

[Aniviller]

O odvajanju ne bi razglabljali - lazje funkcije za odvajat skoraj ne obstajajo. Verizno pravilo upam da poznas.
Za integrirat pa: za sode potence kotnih funkcij je pametno preit na dvojne kote (tiste formule ki dajo koren iz 1+-kosinus polovic).

[problemi]

Integrand razstavi v dva faktorja, tako da je drugi faktor sin(x) dx oziroma cosx dx in nato parcialno integriraj. Pri tem upoštevaj da je cos^2(x)=1-sin^2(x) in pa sin^2(x)=1-cos^2(x). Pri računanju teh integralov je pametno dati I-ju indeks, kateri je enak eksponentu sin(x) ali cos(x). V tem primeru (sin^2(x)) zvedemo In na In-2 oziroma izvršimo rekurzijo. Tu so formule rekurzije:

In = S* sin^n(x)dx= 1/n sin^n-1(x) cos(x) + n-1/n S* sin^n-2(x) dx ; (isto je za cos (pač v prvi formuli zamenjaš mesta med sin in cos))

Tvoj primer za sin^2(x) dx =

I2 = S* sin^2(x) dx = S* sin(x) sin(x) dx = (u=sin(x); du=cos(x)dx; dv=sin(x)dx; v= -cos(x)) = - sin(x)cos(x) + S* cos^2(x)dx (cos^2(x)=1-sin^2(x)) =
I2 = - sin(x)cos(x) + S*dx - S* sin^2(x)dx=
2I2 = - sin(x)cos(x) + x
I2 = - sin(x)cos(x)/2 + x/2
I2 = x/2 - sin2(x)/4 + C

In pomeni integral z indeksom n; S* znak za integral ; x je v oklepaju samo zaradi preglednosti.

[Aniviller]

No no ne kompliciraj.

int sin^2(x)dx=int (1/2)(1-cos(2x))dx=x/2-sin(2x)/4

[problemi]

No no ne kompliciraj.

int sin^2(x)dx=int (1/2)(1-cos(2x))dx=x/2-sin(2x)/4

Aniviller nočem se vmešavati. Vem da kompliciram, hotel sem ji, s tisto formulo pokazati, da ji to lahko olajša delo tudi pri reševanju pri višjih potencah, recimo: int sin^4(x) dx. No, kakorkoli bom razlage v matematiki raje tebi prepustil.

[Aniviller]

Ne ti kar razlagaj, saj je v redu. Jaz sem samo hotel da sta obe varianti navedeni, za primerjavo in da se vidi prednost ene in druge variante.

[hodgetwins]

Zdravo!

imam tole za resit pa nea gre

odvajaj funkcije:

g(x)=\(\sqrt{5x^3-24}\)

f(x)=x³-4x/4x²+1

h(x)=\(e^{2x+4}*x^3\)

[Aniviller]

\(g(x)=\sqrt{5x^3-24}=(5x^3-24)^{1/2}\)
Verizno pravilo. Odvajas najprej potencno funkcijo, nato mnozis z odvodom tistega kar je bilo notri:
\(g'(x)=\frac{1}{2}(5x^3-24)^{-1/2}(5x^3-24)'=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{5x^3-24}}(15x^2)\)

Tukaj sklepam, da si pozabil oklepaje pisat in imas v resnici le en vecji uklomek:
\(f(x)=\frac{x^3-4x}{4x^2+1}\)
To odvajas kot kvocient:
\(f'(x)=\frac{(x^3-4x)' (4x^2+1)-(x^3-4x)(4x^2+1)'}{(4x^2+1)^2}\)
\(=\frac{(3x^2-4)(4x^2+1)-(x^3-4x)(8x)}{(4x^2+1)^2}\)
Zdaj lahko se stevec zmnozis in preuredis in poenostavis kolikor se da.

\(h(x)=e^{2x+4}x^3\)
Odvajas kot produkt:
\(h'(x)=(e^{2x+4})' x^3+e^{2x+4}(3x^2)\)
\(=e^{2x+4} 2x^3+e^{2x+4}(3x^2)=e^{2x+4}(2x^3+3x^2)\)

[matematičarka]

lepo pozdravljeni.
Nujno bi prosila za pomoč pri odvajanju naslednje funkcije: g(x)= ln √x^2/(x-4)
-----------> to je pod korenom vse skupaj

[Aniviller]

Posredno odvajanje (verizno pravilo), lepo po vrsti:
\(\left(\ln\sqrt{\frac{x^2}{x-4}}\right)'\)
Odvajas logaritem, kar je notri moras potem naprej odvajat:
\(\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{x-4}}}\left(\sqrt{\frac{x^2}{x-4}}\right)'\)
Odvajas koren:
\(\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{x-4}}}\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{x-4}}}\left(\frac{x^2}{x-4}\right)'\)
Odvajas kvocient:
\(\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{x-4}}}\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{x-4}}}\frac{2x(x-4)-x^2(1)}{(x-4)^2}\)
Zdruzis oba korena, malo poenostavis ulomke:
\(\frac{x-4}{2x^2}\frac{x^2-8x}{(x-4)^2}\)
Se bolj:
\(\frac{x-8}{2x(x-4)}\)

To je bilo cisto slepo odvajanje po pravilih (vaja za verizno pravilo). Delo si poenostavis, ce upostevas, da koren lahko neses ven iz logaritma kot polovicko:
\(\frac{1}{2}\ln\frac{x^2}{x-4}\)
Potem upostevas, da je logaritem kvocienta razlika logaritmov:
\(\frac{1}{2}\left(\ln x^2-\ln (x-4)\right)\)
In zdaj lahko se eno dvojko ven neses:
\(\frac{1}{2}\left(2\ln x-\ln (x-4)\right)\)
To je potem bistveno lazje odvajat:
\(g'(x)=\frac{1}{2}\left(2\frac{1}{x}-\frac{1}{x-4}\right)\)
Ce to das na skupni imenovalec, dobis isti rezultat kot ga imas zgoraj.

Dal sem ti dva postopka - pametno je poenostavit preden odvajas, ampak tudi ce ne, se da prezivet.

[subic.alja]

Živjo!

Prosila bi za pomoč pri naslednji nalogi:

Naj bo funkcija f odvedljiva in naj na intervalu (a,b) osemkrat zavzame isto vrednost (npr. 2). Z uporabo Rolleovega izreka dokaži, da ima potem odvod funkcije f' na intervalu [a,b] vsaj sedem ničel.
Ali lahko rezultat posplošiš, če f zavzame n enakih vrednosti?
Posebej pokaži, da ima odvod funkcije f' na intervalu (a,b) največ eno ničlo manj kot funkcija f.
Ali velja mora tudi obratno?

Upam, da mi boste lahko pomagali.

LP

[Aniviller]

No, ideja je jasna, samo ubesedit jo je treba. Ce nicle (oziroma tocke enake vrednosti) uredis po vrsti, vsaki dve zaporedni nicli tvorita interval z enakima robnima tockama: po Rolleovem izreku torej obstaja vmes najmanj ena tocka z odvodom 0. n nicel razbije definicijsko obmocje na n-1 intervalov (levega in desnega robnega intervala, ki se razteza do neskoncnosti, ne stejemo, saj ni omejen in vrednost na neskoncnem robu ni enaka kot na drugem robu). To ti pove, da ima odvod najmanj n-1 nicel. Ta izjava pravzaprav sluzi kot odgovor na vsa tri vprasanja.

[subic.alja]

Kako pa naj to potem dejansko dokazem?
Hvala za pomoc

Lp

[Aniviller]

Tole zgoraj bi pravzaprav moralo biti zadostovat (so koraki kar dobro definirani). Ne vem, kako rigorozen dokaz je zahtevan. Lahko poskusis z indukcijo: zacnes z Rolleovim izrekom (2 enaki vrednosti), potem pa pokazes, da razsiritev intervala na se eno enako vrednost vodi v razcep na 2 intervala in posledicno na vsaj eno dodatno niclo. Saj vidis, da skoraj ni kaj dokazovat