Poissonova enačba

O matematiki, številih, množicah in računih...
Post Reply
Popotnik
Posts: 532
Joined: 12.11.2008 18:35

Poissonova enačba

Post by Popotnik » 25.3.2011 18:22

Torej kak se reši

\(\nabla^2 T = A \delta{(z)} \delta{(y)} \delta {(x-x0)}\)
In to rešujemo (najbrž s sferičnimi koordinatami) za \(R_{0} < R < \infty\).

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Poissonova enačba

Post by Aniviller » 25.3.2011 19:14

No, Poissonovo funkcijo s tockastim izvorom seveda imenujemo Greenova funkcija, ki je znana stvar (in jo uporabimo da resimo Poissonovo enacbo za vse ostale moznosti kaj je na desni strani).

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Poissonova enačba

Post by sanej » 26.8.2012 16:54

živjo!

modeliramo temperaturni profil zemlje (stacionarni). Privzamemo, da ni konvekcije v jedru vsak kubični meter oddaja q= dP/dV (zaradi radioaktivnih razpadov), v plašču in skorji ni toplotnih izvirov, na površju zemlje pa je stalna temperatura 300K.

izračunal sem funkcijsko odvisnost temperature v jedru in v plašču.

\(\[ 0 = \frac {\partial(T)} {\partial(t)} = \frac{\lambda (\nabla)^2T}{\rho C_p} +\frac{q}{\rho C_p} \to T(r)= -\frac{qr^2}{\lambda}+Cr+D \]\) (1.)
za del v jedru pa ni izvorov in ker je stacionarni profil rešujem laplacea
\(\[ (\nabla)^2T=0 \to T(r) = -A\frac{ 1}{r} + B\) ( 2.)

Vem da mora veljati za (2.) T(R) = 300K in da je na meji jedro -plašč temperatura (2.) = (1.) vendar mi to ne zadošča da bi izračunal konstante A,B,C,D kako bi sedaj to določil oziroma katere robne pogoje moram še upoštevati??

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Poissonova enačba

Post by Aniviller » 26.8.2012 17:23

No kot prvo si malo zmesal... jedro ima izvore, plasc jih nima. Del resitve v jedru ne sme imeti clenov 1/r, ker je temperatura v sredini zemlje nesingularna.

Pogoji so: temperatura na povrsju, zveznost temperature na sticiscu plasca in jedra in enakost toplotnega toka na obeh straneh tega sticisca. To ti da dovolj enacb, da dolocis vse neznane predfaktorje.

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Poissonova enačba

Post by sanej » 26.8.2012 22:11

Res sen se zmotil ravno obratno je.
če upoštevam zgoraj naštete pogoje dobim

1.) \(\[ -\frac{A}{R} + B = 300 K \]\) enak toplotni tok da 2.) \(\[ -\frac{2qr_j}{\lambda} + C = \frac{A}{r_j^2}\) rj - radij jedra

in za limito oziroma zveznost v rj. 3.) \(\[ - \frac{qr_j^2}{\lambda} +Cr_j +D = -\frac{A}{r_j} + B \]\)

tko da imam še zmeraj eno konstatno preveč, če vse zmečem skupaj dobim
\(\[ \frac{qr_j^2}{\lambda} + B(\frac{2R}{r_j} -1) -600\frac{R}{r_j} + D = 0 \]\) tako da sem še vedno mrzel. Ali si moram izmisliti eno konstanto in potem ostale določit ali sem kaj narobe računal ?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Poissonova enačba

Post by Aniviller » 26.8.2012 22:40

Tisti C je odvec. Toplotni tok v sredini mora zaradi simetrije biti 0 (odvod temperature v sredini je 0). To bi lahko uposteval ze pri nastavku.

Post Reply