Zanimiva številska drevesa - rad bi vedel več

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
računilingus
Prispevkov: 23
Pridružen: 6.7.2008 14:44

Zanimiva številska drevesa - rad bi vedel več

Odgovor Napisal/-a računilingus »

Včasih se, kot še marsikdo, malo igram s (pra)števili.
Potem se mi nekje ustavi in ne znam naprej. Pomislim, da je gotovo že nekdo kaj več objavil o tem,
kar sem jaz "odkril", pa ne znam najti, saj niti ne vem, kako bi stvar poimenoval.

Torej: iskal sem nekakšen "algoritem", ki bi poljubnemu naravnemu številu priredil točno določeno praštevilo.
Postopek ilustirira naslednji primer:

1000 = 10 x 10 x 10 = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) (razstavitev na prafaktorje)
Te prafaktorje seštejem: 2 + 5 + 2 + 5 + 2 + 5 = 21

Postopek ponovim z 21:
21 = 3 x 7
Prafaktorje seštejem:
3 + 7 = 10
Spet faktoriziram:
10 = 2 x 5
Prafaktorje seštejem:
2 + 5 = 7

Tu se postopek konča, ker smo dobili praštevilo, ki ga ne morem naprej faktorizirati.
Sestavljenemu številu 1000 sem torej priredil praštevilo 7.

Velja, da iz izbranega števila dobim natanko eno praštevilo po tem postopku, obratno pa ne velja: iz izbranega praštevila dobim lahko tudi več (ali ogromno) števil, poskusimo kar s praštevilom 7:

7 = 2 + 2 + 3 --> 2 x 2 x 3 = 12
7 = 2 + 5 --> 2 x 5 = 10

Potem lahko naprej zapišem 12 in 10 kot različne vsote praštevil, te pa nato zmnožim, itn.
12 = 2+2+2+2+2+2 --> 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
12 = 2+2+2+3+3 --> 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 72
12 = 3+3+3+3 --> 3 x 3 x 3 x 3 = 81
12 = 2+2+3+5 --> 2 x 2 x 3 x 5 = 60
12 = 5+7 --> 5 x 7 = 35
...

Števila 64, 72, 81, 60, 35, ... lahko (vsakega posebej) spet napišem kot različne vsote praštevil, kjer nato seštevanje zamenjam z množenjem in dobim še večja števila ... in tako naprej "v neskončno".

Enako naredim z 10 ...

Najbolje si je to narisati na list papirja kot nekakšno drevo. Vidimo, da iz vsakega praštevila "rastejo" sestavljena števila, iz teh pa naprej še več (in še večja) sestavljena števila, kot v nekakšnih nadstropjih. Vsako drevo ima neskončno števil, in vsako število je samo v enem teh dreves.
Rahla izjema je število 2, kjer se zadeva "cikla":
4 = 2 x 2 --> 2 + 2 = 4


Tu pa se moja zgodba konča. Zanima me, ali kdo ve, če imajo ta "drevesa" kakšno ime in kje lahko o tem preberem kaj več.

Hvala!

Jurij
Prispevkov: 585
Pridružen: 27.2.2006 11:09

Re: Zanimiva številska drevesa - rad bi vedel več

Odgovor Napisal/-a Jurij »

verjetno te zanima tole:
viewtopic.php?f=23&t=2596

računilingus
Prispevkov: 23
Pridružen: 6.7.2008 14:44

Re: Zanimiva številska drevesa - rad bi vedel več

Odgovor Napisal/-a računilingus »

Jurij,
hvala. Pogledal sem si tvoje linke, vendar ni ravno to, kar iščem jaz. Mogoče nisem bil dovolj jasen glede tega, kar me zanima.
Ne zanima me generiranje števil v teh drevesih, saj je "algoritem" enostaven. Zanimajo me kakšne splošnejše lastnosti, povezave,
bodisi med posameznimi drevesi ali znotraj istega drevesa ipd.

Fasciniralo me je, kako iz vsakega od neskončno praštevil (izjema sta 2 in 3) zraste kot iz nekakšnih semen neskončno sestavljenih števil, in
ta rast iz generacije v generacijo je prav eksplozivna. In vsako število n je v enem in samo enem teh dreves na natanko določenem mestu...

No, saj možno, da je to tudi vse, kar se da zanimivega povedati o tej temi. Meni je za naprej zmanjkalo navdiha, pa sem se veliko trudil. Morda mi manjka tudi ustrezno matematično znanje.

računilingus
Prispevkov: 23
Pridružen: 6.7.2008 14:44

Re: Zanimiva številska drevesa - rad bi vedel več

Odgovor Napisal/-a računilingus »

Bom poskušal narediti preprosto shemo:

15 16 18 14 20 24 27
\ | / \ | | /
| /
8 9
\ /
6 10 12
| \ /
2 3 5 7 ...


iz 14 izhajajo: 49, 70, 84, 100, 120, 128, 144, 162
itn.

računilingus
Prispevkov: 23
Pridružen: 6.7.2008 14:44

Re: Zanimiva številska drevesa - rad bi vedel več

Odgovor Napisal/-a računilingus »

Opomba:
pri predogledu je bilo vse OK, potem pa so presledki izginili in je števila in povezave med njimi (črte) stisnilo ob levi rob.
Se opravičujem!

Roman
Prispevkov: 6411
Pridružen: 21.10.2003 8:03

Re: Zanimiva številska drevesa - rad bi vedel več

Odgovor Napisal/-a Roman »

Morda pa boš tu kaj koristnega našel: http://www.mathpages.com/home/kmath006/kmath006.htm.

Odgovori