metoda najmanjših kvadratov - diskretna Fouriereva tranf.

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
Uporabniški avatar
fogl
Prispevkov: 546
Pridružen: 7.11.2004 20:25
Kraj: Radovljica

metoda najmanjših kvadratov - diskretna Fouriereva tranf.

Odgovor Napisal/-a fogl »

Imam neke diskretne podatke, ki jih želim aproksimirat s funkcijo. Za "foro" sem primerjal rešitev aproksimacije s Fourierevo vrsto in metodo najmanjših kvadratov.
Če uporabim Fourierevo vrsto, in nekaj členov višjih frekvenc izpustim/zanemarim, dobim identično rešitev, kot v primeru, če uporabim enako funkcijo (vsoto sinusov in kosinusov) in uporabim metodo najmanjših kvadratov. Kako to? Ali sta diskretna Fouriereva transformacija in metoda najmanjših kvadratov med seboj povezani, kako?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: metoda najmanjših kvadratov - diskretna Fouriereva tranf

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Seveda sta povezani. Ce poisces vrh spektra je to najboljsi sinusni priblizek za to funkcijo.

Povezava je Parsevalov teorem (integral kvadrata funkcije je sorazmeren s integralom kvadrata spektra). V diskretni obliki to pomeni, da je vsota kvadratov funkcije sorazmerna z vsoto kvadratov spektralnih komponent. Ce vzames funkcijo f(x)-a*sin(k*x), ima ta stvar vse spektralne komponente enake kot prej, razen k-te, ki je za a manjsa. Torej minimiziras \(\sum_{n\neq k} f_n^2 +(f_k-a)^2\) (f_k so spektralne komponente funkcije) in ta stvar ima ocitno minimum pri a=f_k. Ce "ubijes" najvecjo spektralno komponento bos najbolj zmanjsal vsoto kvadratov.

Koncept ima dve "tezavi". Ena je, da je pri nelinearnem fitanju (ce je tvoj "k" v sin(kx) parameter fita, potem to ni linearno fitanje) dobljena resitev odvisna od zacetnega priblizka, kar pomeni da lahko pri razlicnih zacetnih k-jih pades v lokalni minimum, ki bo pri katerem drugem spektralnem vrhu signala. Drug problem je, da fourierova transformacija privzame periodicnost signala in ima samo diskretno dolocene frekvence. S fitanjem lahko ujames tudi kaksno vmesno frekvenco, ki bolje pase na podatke. Fourier bo tudi precej trpel zaradi "aliasinga" - ce nimas celega stevila period v podatovnem obmocju, ti bo vneslo kup dodatnih frekvenc, ce ne uporabis okenske funkcije za filtriranje.

Odgovori