Imam neke diskretne podatke, ki jih želim aproksimirat s funkcijo. Za "foro" sem primerjal rešitev aproksimacije s Fourierevo vrsto in metodo najmanjših kvadratov.
Če uporabim Fourierevo vrsto, in nekaj členov višjih frekvenc izpustim/zanemarim, dobim identično rešitev, kot v primeru, če uporabim enako funkcijo (vsoto sinusov in kosinusov) in uporabim metodo najmanjših kvadratov. Kako to? Ali sta diskretna Fouriereva transformacija in metoda najmanjših kvadratov med seboj povezani, kako?
metoda najmanjših kvadratov - diskretna Fouriereva tranf.
Re: metoda najmanjših kvadratov - diskretna Fouriereva tranf
Seveda sta povezani. Ce poisces vrh spektra je to najboljsi sinusni priblizek za to funkcijo.
Povezava je Parsevalov teorem (integral kvadrata funkcije je sorazmeren s integralom kvadrata spektra). V diskretni obliki to pomeni, da je vsota kvadratov funkcije sorazmerna z vsoto kvadratov spektralnih komponent. Ce vzames funkcijo f(x)-a*sin(k*x), ima ta stvar vse spektralne komponente enake kot prej, razen k-te, ki je za a manjsa. Torej minimiziras \(\sum_{n\neq k} f_n^2 +(f_k-a)^2\) (f_k so spektralne komponente funkcije) in ta stvar ima ocitno minimum pri a=f_k. Ce "ubijes" najvecjo spektralno komponento bos najbolj zmanjsal vsoto kvadratov.
Koncept ima dve "tezavi". Ena je, da je pri nelinearnem fitanju (ce je tvoj "k" v sin(kx) parameter fita, potem to ni linearno fitanje) dobljena resitev odvisna od zacetnega priblizka, kar pomeni da lahko pri razlicnih zacetnih k-jih pades v lokalni minimum, ki bo pri katerem drugem spektralnem vrhu signala. Drug problem je, da fourierova transformacija privzame periodicnost signala in ima samo diskretno dolocene frekvence. S fitanjem lahko ujames tudi kaksno vmesno frekvenco, ki bolje pase na podatke. Fourier bo tudi precej trpel zaradi "aliasinga" - ce nimas celega stevila period v podatovnem obmocju, ti bo vneslo kup dodatnih frekvenc, ce ne uporabis okenske funkcije za filtriranje.
Povezava je Parsevalov teorem (integral kvadrata funkcije je sorazmeren s integralom kvadrata spektra). V diskretni obliki to pomeni, da je vsota kvadratov funkcije sorazmerna z vsoto kvadratov spektralnih komponent. Ce vzames funkcijo f(x)-a*sin(k*x), ima ta stvar vse spektralne komponente enake kot prej, razen k-te, ki je za a manjsa. Torej minimiziras \(\sum_{n\neq k} f_n^2 +(f_k-a)^2\) (f_k so spektralne komponente funkcije) in ta stvar ima ocitno minimum pri a=f_k. Ce "ubijes" najvecjo spektralno komponento bos najbolj zmanjsal vsoto kvadratov.
Koncept ima dve "tezavi". Ena je, da je pri nelinearnem fitanju (ce je tvoj "k" v sin(kx) parameter fita, potem to ni linearno fitanje) dobljena resitev odvisna od zacetnega priblizka, kar pomeni da lahko pri razlicnih zacetnih k-jih pades v lokalni minimum, ki bo pri katerem drugem spektralnem vrhu signala. Drug problem je, da fourierova transformacija privzame periodicnost signala in ima samo diskretno dolocene frekvence. S fitanjem lahko ujames tudi kaksno vmesno frekvenco, ki bolje pase na podatke. Fourier bo tudi precej trpel zaradi "aliasinga" - ce nimas celega stevila period v podatovnem obmocju, ti bo vneslo kup dodatnih frekvenc, ce ne uporabis okenske funkcije za filtriranje.