Lastna nihanja

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
Rokerda
Prispevkov: 799
Pridružen: 11.11.2006 16:18

Lastna nihanja

Odgovor Napisal/-a Rokerda »

Pri iskanju lastnih nihanj sistema sem dobil dve iskani frekvenci \(\omega_{1,2}^2\).
Če ju (kvadrata) seštejem dobim mnogo lepši izraz. Verjetno je tudi vsota teh rešitev ena harmonična funkcija?
Preprosto najdem lastne vektorje prvotnih dveh rešitev in je to to? Ali lahko tudi najdem/vzamem novo \(\omega_x^2\), npr vsoto kvadratov prvotnih, in tej najdem (uganem, če lahko) lastno vrednost in izračunam lastni vektor. Od kje pa potem tu dobim še drugo rešitev? Iz katere kvadratne enačbe?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Lastna nihanja

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ne, to ni prav. Splosna resitev nihanja je vsota dveh harmonicnih nihanj z lastnima frekvencama in lastnima vektorjema. Ampak taka vsota ni vec harmonicna funkcija (vsota 2 sinusov pride lahko precej cudna, recimo utripanje dobis ce sta frekvenci zelo blizu). Samo za lastno nihanje velja, da imas eno izmed teh dveh frekvenc in da komponenti nihanja (odvisno kaj ti pomeni lastni vektor - lahko sta to dva kota ali kaj podobnega) nihata tako kot pove lastni vektor. Splosno nihanje nima vmesne frekvence ampak ji frekvence sploh ne mores dolocit (ima dve).

Vsota kvadratov frekvenc je lepa stvar zato ker je to sled matrike, ki ji isces lastne vrednosti in ce je matrika lepa je potem tudi izraz lep.

Za vsak zacetni pogoj lahko ta pogoj (kot vektor) razvijes po lastnih vektorjih, naprej se pa vsaka komponenta propagira s svojo frekvenco, tako da je vsaka komponenta utezena vsota dveh harmonicnih funkcij.

Ce imas vsiljeno nihanje in vzbujas s frekvenco in "vektorjem" ki nista lastna, dobis vecdimenzionalno verzijo resonancne krivulje (kjer je odziv odvisen od tega s kaksnim "vektorjem" vzbujas, torej, ali vzbujas samo eno komponento ali obe z razlicnima fazama in amplitudama).

problemi
Prispevkov: 4931
Pridružen: 24.8.2009 1:20

Re: Lastna nihanja

Odgovor Napisal/-a problemi »

Nisem želel odpirati nove teme, ker pa me zanima nihanje bo po moje kar v redu ... Imel bi eno vprašanje:

Zamislimo si struno vpeto med dva nosilca, ki si stojita na razdalji enega metra. Struno tako "naštimamo", da ob vsakokratnem "vzburjenju" začne nihati tako, da sta amplituda in perioda pri vsakem poskusu vedno enaki - jebemti imamo laiki probleme z govorico fizike, želim pravzaprav reči, da je energija vedno enaka. Potem pa storimo zgolj eno spremembo, odmaknemo nosilca še za 1 meter narazen. Struna se raztegne za dolžino enega metra. Zdaj ponovimo poskus in jo na povsem isti način "vzburimo" kot prej (predpostavimo, da so po raztezku lastnosti "materila" strune ostale enake). Sam si predstavljam, da bi se spremenili tako amplituda kot perioda, torej tudi energija. Nisem pa prepričan če je temu res tako. Upam da me je kdo razumel in mi bo lahko pomagal.

Še bolj pomebno mi je, kaj bi se zgodilo če bi med nihanjem (prva faza poskusa) odmaknili nosilca za en meter. Ali ima tak odmik kakšno zvezo z amplitudo in periodo? Sam mislim da ja, vendar si tega ne znam najbolje pojasniti oziroma obstaja velika verjetnost, da se motim. :)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Lastna nihanja

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Hm. No zelo pomembno je, kaj mislis na "isti nacin". V "nacinu" vzbujanja je tudi podelitev energije, frekvencni spekter,... Recimo lahko predpises, da je pri vzbujanju amplituda odmika tista, ki ostane enaka, ali amplituda hitrosti, ali energija, ali pa cisto nekaj drugega. Vprasanje torej ni dobro zastavljeno. Pa tudi tezko najdes struno, ki zdrzi 100% raztezek :)

Ce med samim nihanjem raztegnes struno, je dogajanje zelo zapleteno. Ohranitev energije ni garantirana. Raztegovanje med nihanjem lahko dovede energijo v sistem, kar pa je odvisno od tega, v kateri fazi je nihanje. Ze ce vzames nihanje s tocno doloceno frekvenco, se mora ta frekvenca spremenit (raztegnjena struna ima druge lastne frekvence), kar se lahko zgodi na razlicne nacine, glede na to kdaj in kako raztegnemo. Ce spremembo izvedes pocasi je verjetno mogoce, da nihanje ostane elementarno - iz ene same frekvencne komponente, ki se pocasi prestavi. Po drugi strani se lahko nihanje z napacno frekvenco porazdeli med lastne frekvence novega stanja.

Predstavljaj si ze tole: ce takrat, ko gre struna skozi izhodisce, hitro raztegnes, se mora nekako precna gibalna kolicina ohranjat. Ce raztegnes takrat, ko je struna v skrajni legi, s tem struno nasilno porines proti izhodiscni legi. V prvem primeru se pri spremembi ohrani amplituda hitrosti, v drugem pa amplituda odmika. Seveda obstajajo se vse ostale kombinacije, se posebej, ce je nihanje sestavljeno iz vec harmonskih komponent.

problemi
Prispevkov: 4931
Pridružen: 24.8.2009 1:20

Re: Lastna nihanja

Odgovor Napisal/-a problemi »

Aniviller napisal/-a:Vprasanje torej ni dobro zastavljeno.
Vem. Se opravičujem in prosim za kanček potrpljenja.
Pa tudi tezko najdes struno, ki zdrzi 100% raztezek :)
Mah, lahko bi bil veliko bolj jasen. Struna mi služi bolj kot "pripomoček" pri nekem razmišljanju, pa mislim da niti ni potrebna, ampak ...

Zamislimo si da zagledamo/doživimo fatamorgano, sicer nič posebnega, ampak kaj pa če se malce "poigramo" in določimo nek prostor znotraj te fatamorgane in opazujemo dogajanje znotraj tega prostora. Pač izrežemo neko kocko, katera bi bila v celoti napolnjena s tem "migetanjem", verjetno pravilneje nihanjem/valovanjem. Seveda je dobro, da si takoj zamislimo, da smo tudi mi znotraj te kocke, še bolje pa, če se zavemo, da smo pravzaprav tudi mi zgolj to migetanje, ampak o tem raje v oni drugi temi. Se opravičujem za ta izlet. Skratka, če opazujemo oziroma bi lahko opazovali dogajanje znotraj te kocke, recimo da poljubno izberemo katero koli točko (območje) znotraj kocke, lahko velikosti zgolj enega kvanta dolžine, bi opazili nihanje te točke.

Tisto, kar mene zanima je torej sledeče: Določimo eno točko znotraj tega prostora. Kamorkoli bi pogledali s te točke, bi lahko opazili nihanje in s tem tudi, če se ne motim, spremembe energetskih stanj. Zdaj se pa odločimo in iz te točke z velikansko močjo "odrinimo" vso nihanja/valovanje, ki se odvija v okolici točke, v vse smeri stran od te točke. Tu nastopi struna. :) Sam si to predstavljam kot, recimo da opazuješ neko struno, samo eno, ki niha, potem pa na sredini strune s prsti obeh rok (palec, kazalec) z vso močjo stisneš. Nato na zelo majhni razdalji silovito potegneš z obema rokama (eno stran od druge) po struni in struno spustiš. No, tu nastopijo moje težave. Sam si nadaljnje dogajanje razlagam na sledeči način. Takšna akcija bi povzročila, da bi prvotno nihanje spremenilo smer. Če opazujem potovanje "nihajnega vala" ki niha po x-osi, bi verjetno opazil, da bi se zdaj nihanje v neki "točki", "razpolovilo" v dva nihanja, enega v smeri -, enega v smeri + (tu bi imel dodatno vprašanje, ker mislim, da bi ta dva nihanja imela različni energiji, ali prav mislim). Najbolj problematičen se mi zdi pa moj naslednji sklep/razmislek. Prej sem omenjal točko v kateri se nihanje "razpolovi", vendar bi tu moral biti natančnejši, to mislim na način, da ne gre za to, da bi tu bila točka ki ne niha, temveč, da bi prej omenjena akcija povzročila tudi, da bi prvotno nihanje, v obe smeri na nek način stisnili. Res oprosti moji okornosti, to si predstavljam, kot če pogledaš recimo graf, ki prikazuje potresne sunke, imaš neko nihanje, potem pa naglo poskoči, kot bi prejšnje nihanje nekaj stisnilo, no, tako bi zgledalo novo nastalo nihanje v obe meri. Moje nadaljnje sklepanje gre v smeri oziroma to je bistvo mojega vprašanja, če bi merili temperaturo v posamezni točki, od točke T omenjenega dogodka v vse smeri, bi verjetno opazili temperaturne razlike v posamezni točki. Ker mora skupna energija sistema ostati enaka in ker predpostavljam (no, mislim, da imam prav :) ), da bi v bližnji okolici točke T izmerili nižje temperature kot v oddaljenejših točkah, bi se okolica točke T ohladila. No, moje vprašanje je, ali pravilno sklepam, ali bi se okolica točke T ohladila?

Ker če pravilno sklepam in če pustimo struno za čas ob strani in se vrnemo na kocko napolnjeno s fatamorgano in opazujemo dogajanje znotraj nje bi opazili, da se je v enem območju formirala neka "struktura", ki bi zgledala kot mehurček zraka v žele bombonu. Ta sklep sicer dopušča tudi prispodobo z ementalskim sirom. :)

Opravičujem se za tako dolg post, žal ne znam na človeku bolj prijazen način pojasniti kaj me zanima.

Fatso
Prispevkov: 3
Pridružen: 14.9.2012 0:06

Re: Lastna nihanja

Odgovor Napisal/-a Fatso »

Pozdravljeni,
potrebujem malo pomoci pri resevanju naslednje naloge:

"Po palicici, ki je za zgornji konec vrtljivo pritrjena, lahko brez trenja drsita dve masi, povezani s sibko vzmetjo. Opisi majhna lastna nihanja tega sistema."

Kaksen nasvet, namig kako zaceti in nadaljno resevanje?
Hvala v naprej,
Lp

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Lastna nihanja

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Odvisno kam sta povezani s to vzmetjo. Ce sta samo ena na drugo, stvar nima pohlevne resitve - obe masi skupaj divje padata navzdol po palici.

Sicer, kakrsenkoli sistem ze imas, zapisi energijo (potencialna in kineticna). Z Newtonovim zakonom tezko prides skozi, ker moras upostevat Coriolisovo in centrifugalno silo, ki hrati delujeta tudi nazaj na palico in tako naprej.

Fatso
Prispevkov: 3
Pridružen: 14.9.2012 0:06

Re: Lastna nihanja

Odgovor Napisal/-a Fatso »

Masi sta z vzmetjo povezani samo med sabo, in prosto drsita po palici.
Kaj ni v tem primeru Coriolisova sila vedno pravokotna na gibanje mas, ki je omejeno na palico, se pravi samo gor in dol po palici. In če je, bi se dalo sistem rešiti tako da se postaviš v ne inercialni sistem nihala in s tu obravnavaš gibanje mas. Je zadeva še vedno prevec zakomplicirana brez Coriolisa?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Lastna nihanja

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ja kaj pa efekt gibanja mas na palico? Razen ce je misljeno, da palicico vrtis s konstantno kotno hitrostjo... vprasanje je tudi, ali ima palicica vztrajnostni moment in ali je vzmet v neraztegnjenem stanju opazno dolga.

Naj bodo koordinate: r1, r2 (polozaja mas) in kot fi. Predpostavimo, da je neraztegnjena vzmet dolzine 0 in da palica nima vztrajnosti. Potencialna energija
\(\frac{1}{2}k(r_2-r_1)^2-mg (r_1+r_2)\cos\phi\)
kineticna energija
\(\frac12 m (\dot{r}_1+r_1 \dot{\phi})^2+\frac12 m (\dot{r}_2+r_2 \dot{\phi})^2\)

Euler-Lagrangeove enacbe:
\(\frac{d}{dt}(m(\dot{r}_1+r_1 \dot{\phi})r_1+m(\dot{r}_2+r_2 \dot{\phi})r_2)+mg(r_1+r_2)\sin\phi=0\)
\(\frac{d}{d t}(m(\dot{r}_1+r_1 \dot{\phi}))-k(r_2-r_1)-mg\cos\phi-m(\dot{r}_1+r_1\dot{\phi})\dot{\phi}=0\)
\(\frac{d}{d t}(m(\dot{r}_2+r_2 \dot{\phi}))+k(r_2-r_1)-mg\cos\phi+r_1\dot{\phi})\dot{\phi}=0\)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Lastna nihanja

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ups pri zadnji je nekaj izginilo:
\(\frac{d}{d t}(m(\dot{r}_2+r_2 \dot{\phi}))+k(r_2-r_1)-mg\cos\phi-m(\dot{r}_2+r_2\dot{\phi})\dot{\phi}=0\)
Upam da ni se kaj drugega narobe.

Fatso
Prispevkov: 3
Pridružen: 14.9.2012 0:06

Re: Lastna nihanja

Odgovor Napisal/-a Fatso »

Hvala

Odgovori