Edine nerazcepne upodobitve grupe U(1) naj bi bile \(\displaystyle\rho_n(e^{i\phi})v=e^{in\phi}v\), kjer je n celo število. Moje vprašanje je, kaj nam preprečuje imeti upodobitev, kjer bi bil n poljubno realno število, recimo da bi imeli \(\rho(e^{i\phi})v=e^{i\sqrt{2}\phi}v\). Ta upodobitev namreč ni ekvivalentna nobeni izmed upodobitev \(\rho_n\), kaj je torej narobe z njo?
LP Rok
Upodobitve grupe U(1)
Re: Upodobitve grupe U(1)
Ni dobro definirana (ker je odvisna od izbire kota \(\phi\)).
Re: Upodobitve grupe U(1)
Si lahko malo bolj konkreten. Kaj pri njej ni definirano? \(\rho\) je homomorfizem iz U(1) v GL(V), torej je upodobitev in skalar \(e^{i\sqrt{2}\phi}\) je definiran za vsak \(\phi\).
Re: Upodobitve grupe U(1)
Preslikava \(e^{i\phi}\mapsto e^{i\sqrt{2}\phi}\) ni dobro definirana, ker je odvisna od izbire kota \(\phi\). Npr. če za \(e^{i\phi}=1\) izbereš \(\phi=0\), dobiš \(1\mapsto 1\), za \(\phi=2\pi\) pa dobiš \(1\mapsto e^{2\pi i\sqrt{2}\).
Pa itak \(\rho\) ni homomorfizem:
\(\rho(e^{i\pi}e^{i\pi})=\rho(e^{2\pi i})=\rho(1)=1\) in \(\rho(e^{i\pi})\rho(e^{i\pi})v=(e^{i\pi\sqrt{2}})^2v=e^{2\pi i\sqrt{2}}v\ne v\).
Pa itak \(\rho\) ni homomorfizem:
\(\rho(e^{i\pi}e^{i\pi})=\rho(e^{2\pi i})=\rho(1)=1\) in \(\rho(e^{i\pi})\rho(e^{i\pi})v=(e^{i\pi\sqrt{2}})^2v=e^{2\pi i\sqrt{2}}v\ne v\).
Re: Upodobitve grupe U(1)
Aha, pa res! Hvala za obrazložitev.