Reši integral

O matematiki, številih, množicah in računih...
cukrcek99
Posts: 1
Joined: 19.11.2011 18:55

Reši integral

Post by cukrcek99 » 11.12.2011 17:37

Prosila bi za pomoč pri reševanju tega nedoločenega integrala:

2* e^(-t/2) * sin(3t)

Vem kok je rešitev, ampak do nje ne znam prit, vsaj per partes ne pride v poštev.

Hvala

Zajc
Posts: 1099
Joined: 26.6.2008 19:15

Re: Reši integral

Post by Zajc » 11.12.2011 17:59

2× per partes.

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Reši integral

Post by sanej » 30.8.2012 23:26

kako pa bi zgledalo tole

\(\[ f(x) = \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^{4}} \,\mathrm{d}x \]\) pri čemer je a > 0

odvajal sem po parametru a potem sem za novo spremenljivko vzel \(\[u = ax^4\, in dobil - \frac{1}{2a} \int_0^\infty u^\frac{1}{4} e^{-u}\,\mathrm{d}u \]\)

iz tega dobim \(\[-\frac{1}{2a^2}\Gamma(\frac{5}{4}) \]\) to je zdej ubistvu odvod od f(a) in bi mogel sedaj integrirati po a ?? da dobim f(a).?? ali je način reševanja smiseln ??

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Post by Aniviller » 31.8.2012 8:05

Ja to je lep nacin. Samo pazi, potenca a-ja je napacna, pri menjavi spremenljivk si nekaj zasral. Ce je u=ax^4, potem je
\(x=u^{\frac14}a^{-\frac14}\) in \({\rm d}u=\frac14u^{-\frac34}a^{\frac34}{\,\rm d}x\)
Sicer je tudi odvajanje (formalno) potrebno le zato, ker integral za Gama funkcijo nima dobrega konvergencnega obnasanja za negativne argumente Game, drugace tudi to ne bi bilo treba.

student2
Posts: 17
Joined: 29.9.2012 13:15

Re: Reši integral

Post by student2 » 29.9.2012 13:47

Prosil bi za mnenje oz. pomoč pri reševanju eliptičnega integrala.

Eliptični integral oblike 1/sqrt(sinfiA-sinfi) v mejah od fiA do fiC sem simbolno rešil v Matlabu. Rešil sem nedoločeni integra ter nato meje vstavil ročno. Pri spodnji meji dobim po vstavljanju ulomek 0/0. Kaj storiti?

Rešitev pa je v obliki nepopolne eliptične funkcije prvega reda, kar glede na literaturo, ki jo imam, sklepam da je pravilno. Hvala za pomoč!

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Post by Aniviller » 29.9.2012 17:51

Ce dobis 0/0 bo treba limitirat. Eno je, da uporabis analiticne lastnosti rezultata za razvoj in limito, druga je pa, da dejansko za tiste vrednosti limitiras ze pred integracijo in dobis priblizni integral, ki je regularen na robu obmocja.

student2
Posts: 17
Joined: 29.9.2012 13:15

Re: Reši integral

Post by student2 » 29.9.2012 17:59

Se pravi da lahko zgornjo integralsko funkcijo limitiram in potem integriram ter v rešitev vstavim meje?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Post by Aniviller » 29.9.2012 18:04

Ja ampak samo na robu, tam kjer limita velja. Drugje uporabis polno resitev.

student2
Posts: 17
Joined: 29.9.2012 13:15

Re: Reši integral

Post by student2 » 29.9.2012 18:14

Sem limitiral z Mathematico. Limitiral sem integralsko funkcijo, pri čemer velja, da gre fi proti fiA. Kot rezultat dobim DirectedInfinity[1/(-Sign(Cos(fiA)))^(1/2)].

Morda veste kako naprej?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Post by Aniviller » 29.9.2012 19:34

To bi pomenilo, da imas tam pol.

Kaj tocno integriras? Tistole kar si pokazal mi izgleda, da za fi>fiA lahko dobis negativno pod korenom...

Samo da sva na jasnem. Pravo limito lahko potegnes samo PO integriranju. Pred integriranjem pa lahko v primeru cudnih izrazov razvijes in dobis asimptotski priblizek integrala (to je koristno se posebej, ce tam divergira in s tem ves kako divergira). Poskusi tudi z Mathematico integrirat celo stvar in narisat (kaj je sploh tvoj parameter? Imas za izracunat samo eno cifro za izbran par fiA in fiB?). Ce je samo en integral, potem z Mathematico potegni NIntegrate, ta zna tudi singularnosti integrirat numericno.

student2
Posts: 17
Joined: 29.9.2012 13:15

Re: Reši integral

Post by student2 » 29.9.2012 20:43

Zadeva je takšna,

imam sistem 3 enačb s tremi neznankami. V te enačbe so vključeni tudi integrali. Dva mi je uspelo rešiti analitično s substitucijo. Eliptični integral: dfi/(sinfiA-sinfi)^(1/2) sem rešil z Matlabom - simbolno. Zakaj? ker so meje integrala od fiA do fiC, ki pa so moje neznanke in ju želim dobiti iz sistema enačb, torej npr. Simpsonova metoda odpade.

Če v rezultat, ki ga dobim z Matlabom vstavim meji, dobim pri vstavitvi fiA: F(...,...) krat 0/0. V tem je problem. Upam, da sem dovolj nazorno opisal. Hvala za pomoč!

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Post by Aniviller » 29.9.2012 20:48

Razumem. Bi pa predlagal, da vseeno vse resujes numericno - analiticni izracun ti ne bo nic pomagal, ker dobljenih enacb se vedno ne bos mogel resit, pa se analiticna resitev v splosnem se pogosto znajde v napacnem rezimu, tale tvoj problem je zelo tipicen. Mogoce numerika izgleda problematicno ampak ni. Vsi transcendentni sistemi enacb se itak ponavadi resujejo z bisekcijo, trapezno metodo ali z necim podobnim. Tako da na vsakem koraku poznas obe meji in parameter (edino nista se pravilni, ker postopek se ni koncan). Stvar bo pac popravljala in ponavljala racun dokler ne najde resitve. Ti samo napisi funkcije, ki sprejemajo parametre in racunajo rezultat (pa tudi ce je to numericna integracija). Za iskanje nicle pa potem klices bodisi v matlabu ali mathematici eno izmed genericnih funkcij, ki so zelo robustne in delajo na prakticno vseh primerih.

student2
Posts: 17
Joined: 29.9.2012 13:15

Re: Reši integral

Post by student2 » 29.9.2012 21:00

Aha, torej če prav razumem: ni se mi potrebno posebej ukvarjati z integralom, ki ga nisem razrešil pač pa grem direktno na reševanje sistema treh enačb s tremi neznankami, ki vsebujejo tudi omenjene integrale po eni izmed napisanih metod? Ali bo sistem možno rešiti na ta način, ne glede na probleme z integralom in mejami o katerih sva govorila?

Kaj pa Newtonova metoda? Kolikor sem se zanimal naj bi bila kar primerna za podobne sisteme.

Hvala za pomoč in nasvete! Nisem namreč študent matematike oz. fizike, tako da imam iz teh področij nekoliko manj znanja kot nekateri tule.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Post by Aniviller » 29.9.2012 23:14

Ja avtomatika ponavadi vzame Newtonovo metodo (oziroma njeno aproksimacijo, ker ponavadi nimas odvodov po parametrih analiticno znanih, tako da odvode racuna s koncnimi diferencami). Bisekcija je namrec precej neuporabna v vec kot 1 dimenziji. Kar se tice tega, ta metoda ponavadi dela brez problema (ce dobi zacetni priblizek, ki je vsaj priblizno v pravem obmocju). Tako da ti moras poskrbet le, da integracija dobro dela.

V Mathematici klici kar FindRoot.

Kar se tice integracije: ja, zna bit problematicna okrog polov. Mathematica ima posebne opcije za numericno integracijo funkcij, ki imajo pole. Goli simpson ne bo ok, ker imas na levem robu 1/sqrt(0).
Glede pametne integracije glej
http://reference.wolfram.com/mathematic ... egies.html
Ne zanima te vse, samo za obcutek kaksne stvari lahko s pametnimi metodami resis.

Sicer, ce bi rocno integriral to stvar in ne bi imel kaksnih boljsih idej, bi pac na vogalu razdrobil na manjse koscke kot v sredini (zlepek navadnih numericnih integracij z razlicnimi natancnostmi). Nekaj bi ze prislo ven.

student2
Posts: 17
Joined: 29.9.2012 13:15

Re: Reši integral

Post by student2 » 30.9.2012 10:17

Bom poizkusil.


Hvala.

Post Reply