Reši integral
Re: Reši integral
Pogledal sem pametne integracije v Mathematici. Problem je, da vse, ki sem jih pregledal zahtevajo podano številčno vrednost mej, ki pa jih jaz ne poznam.
Integrale, ki nastopajo v eni enačbi imam razrešene. Imam pa še enačbi v katerih je integral o katerem govoriva in zelo podoben integral. Glede numeričnega reševanja sistema enačb: kolikor jaz razumem, bi moral najprej ločeno rešiti še ta dva integrala, rezultata vnesti v enačbi in potem numerično po eni izmed metod rešiti sistem 3x3.
Tu je rezultat nedoločenga integrala:
Integrale, ki nastopajo v eni enačbi imam razrešene. Imam pa še enačbi v katerih je integral o katerem govoriva in zelo podoben integral. Glede numeričnega reševanja sistema enačb: kolikor jaz razumem, bi moral najprej ločeno rešiti še ta dva integrala, rezultata vnesti v enačbi in potem numerično po eni izmed metod rešiti sistem 3x3.
Tu je rezultat nedoločenga integrala:
- Priponke
-
- integral.png (7.92 KiB) Pogledano 9412 krat
Re: Reši integral
Nedoloceni integrali so res nevarni, ker se lahko zgodi, da sta meji na razlicnih vejah resitev, ce jih je slucajno vec.
Sistem 3x3 in te stvari ti avtomatika resi, ti samo podaj seznam funkcij, za katere hoces, da so nic.
Sistem 3x3 in te stvari ti avtomatika resi, ti samo podaj seznam funkcij, za katere hoces, da so nic.
Re: Reši integral
izračunati moram integral, ki ima poleg spremenljivke dva parametra.
\(\[ \int_0^\infty \frac{\cos(ax) -\cos(bx)}{x^2} \,\mathrm{d}x \]\)
razstavil sem na dva integrala in vsakega posebaj odvajal po parametru
dobim\(\[ \int_0^\infty \frac{\sin(bx)}{x} \]\) za oba integrala
težava je v tem da ta integral znam izračunati samo za parameter = 1 sin(x)/x bo Pi/2
moram pa ga na splošno. Ali je potrebno sin(bx) razviti na večkratne kote ali obstaja kakšna lažja opcija?
hvala za odgovore?
\(\[ \int_0^\infty \frac{\cos(ax) -\cos(bx)}{x^2} \,\mathrm{d}x \]\)
razstavil sem na dva integrala in vsakega posebaj odvajal po parametru
dobim\(\[ \int_0^\infty \frac{\sin(bx)}{x} \]\) za oba integrala
težava je v tem da ta integral znam izračunati samo za parameter = 1 sin(x)/x bo Pi/2
moram pa ga na splošno. Ali je potrebno sin(bx) razviti na večkratne kote ali obstaja kakšna lažja opcija?
hvala za odgovore?
Re: Reši integral
Nova spremenljivka \(t=bx\).
Naloga se sicer lahko reši tudi z dvojnimi integrali:
\(\int_0^\infty\frac{\cos{(ax)}-\cos{(bx)}}{x^2}dx=\int_0^\infty\int_a^b\frac{\sin{(xy)}}{x}dy\ dx=\int_a^b\int_0^\infty\frac{\sin{(xy)}}{x}dx\ dy\)
Naloga se sicer lahko reši tudi z dvojnimi integrali:
\(\int_0^\infty\frac{\cos{(ax)}-\cos{(bx)}}{x^2}dx=\int_0^\infty\int_a^b\frac{\sin{(xy)}}{x}dy\ dx=\int_a^b\int_0^\infty\frac{\sin{(xy)}}{x}dx\ dy\)
Re: Reši integral
No saj odvajanje po parametru je isto kot dvojna integracija (ker moras nazaj integrirat).
-
- Prispevkov: 5
- Pridružen: 13.1.2013 14:18
Re: Reši integral
ko sem koncno dojel odvode je tu ze naslednji problem
integrali ce se komu da nej mi resi bom zelo hvalezen:
\(\int_{-1}^1\((2-x^2+x^3)dx\)
\(\int_{1}^34\sqrt{x^3}dx\) <<< ta štirica je mišljeno četrti koren nisem vedel kako naj napisem
\(\int_{0}^4\e^{-6x} dx\)
hvala za odgovore.
integrali ce se komu da nej mi resi bom zelo hvalezen:
\(\int_{-1}^1\((2-x^2+x^3)dx\)
\(\int_{1}^34\sqrt{x^3}dx\) <<< ta štirica je mišljeno četrti koren nisem vedel kako naj napisem
\(\int_{0}^4\e^{-6x} dx\)
hvala za odgovore.
Re: Reši integral
No, to so pa najbolj osnovni mozni integrali, ki jih vsak srednjesolec zna na pamet. Pri prvem imas integral konstante in dva integrala potencnih funkcij, to upam da ni problem. Drugega zapisi v potencni obliki in imas isto.
Mimogrede \sqrt[4]{x^3} bo delovalo.
\(\int_1^4 \sqrt[4]{x^3}{\,\rm d}x=\int_1^4 x^{3/4}{\,\rm d}x=\frac{4}{3}x^{-1/4}|_1^4=\cdots\)
Tretji (\e ni posebna konstanta, pisi kar e), je integral eksponentne funckije. Nedoloceni integral je seveda
\(\int e^{kx}{\,\rm d}x=\frac{1}{k}e^{kx}\)
oziroma ce se tudi tega ne spomnis, lahko enostavno zamenjas spremenljivko u=-6x in uporabis dejstvo, da je integral "gole" eksponentne funkcije e^x kar nazaj ista funkcija.
Mimogrede \sqrt[4]{x^3} bo delovalo.
\(\int_1^4 \sqrt[4]{x^3}{\,\rm d}x=\int_1^4 x^{3/4}{\,\rm d}x=\frac{4}{3}x^{-1/4}|_1^4=\cdots\)
Tretji (\e ni posebna konstanta, pisi kar e), je integral eksponentne funckije. Nedoloceni integral je seveda
\(\int e^{kx}{\,\rm d}x=\frac{1}{k}e^{kx}\)
oziroma ce se tudi tega ne spomnis, lahko enostavno zamenjas spremenljivko u=-6x in uporabis dejstvo, da je integral "gole" eksponentne funkcije e^x kar nazaj ista funkcija.
Re: Reši integral
Aniviller napisal/-a:No, to so pa najbolj osnovni mozni integrali, ki jih vsak srednjesolec zna na pamet. Pri prvem imas integral konstante in dva integrala potencnih funkcij, to upam da ni problem. Drugega zapisi v potencni obliki in imas isto.
Mimogrede \sqrt[4]{x^3} bo delovalo.
\(\int_1^4 \sqrt[4]{x^3}{\,\rm d}x=\int_1^4 x^{3/4}{\,\rm d}x=\frac{4}{3}x^{-1/4}|_1^4=\cdots\)
Tretji (\e ni posebna konstanta, pisi kar e), je integral eksponentne funckije. Nedoloceni integral je seveda
\(\int e^{kx}{\,\rm d}x=\frac{1}{k}e^{kx}\)
oziroma ce se tudi tega ne spomnis, lahko enostavno zamenjas spremenljivko u=-6x in uporabis dejstvo, da je integral "gole" eksponentne funkcije e^x kar nazaj ista funkcija.
Si tudi mene spomnil, ni kaj. Vsaka čast !
Re: Reši integral
Kako se reši ta integral - če se ga sploh da analitično?
\(\int_0^{\pi} P_{l}(cos(\theta)) d\theta\)
\(\int_0^{\pi} P_{l}(cos(\theta)) d\theta\)
Re: Reši integral
Seveda. Ze ce ignoriras vse lepe lastnosti Legendrovih polinomov, so to le polinomi v kosinusu in integrali vseh potenc kosinusa po tako lepem intervalu so tabelirani. Sicer pa s substitucijo x=cos(theta) preides na standardni skalarni produkt Legendrovih polinomov: potem lahko uporabis ortogonalnost in pokazes, da gre v resnici le za razvoj zadeve, ki stoji zraven P_l, po bazi Legendrovih polinomov.Popotnik napisal/-a:Kako se reši ta integral - če se ga sploh da analitično?
\(\int_0^{\pi} P_{l}(cos(\theta)) d\theta\)
Re: Reši integral
Hja no, sj Mathematica v bistvu to izračuna, a ne za splošen \(l\). In za visoke l računa zelo počasi, najbrž tudi Ona računa s polinomi.
Re: Reši integral
Si ziher da ti ne manjka sin(theta)? To pride iz realnega problema ali je samo matematicna naloga? Ker fizikalno se pojavlja ravno v smislu ortogonalnih polinomov, in kadar je izrazeno s kosinusi (theta v smislu sfericnih koordinat), imajo integrali vedno jakobijan notri in zato sin(theta)d(theta)=d(cos(theta)). Ker v tejle obliki res ni ravno lepo.
Re: Reši integral
Heheh, ja \(2 \pi sin(\theta)\) manjka
Re: Reši integral
In rezultat \(4 sin(\pi l) \over l (l+1)\). Hvala!
Re: Reši integral
No, v tem primeru je to itak integral
\(\int_{-1}^1 P_l(x)dx\)
kar lahko smatras kot skalarni produkt med P_l in P_0 (enka - nicti legendrov polinom). Zaradi ortogonalnosti dobis nic za vse l>0 in normalizacijo nictega polinoma za l=0.
\(\int_{-1}^1 P_l(x)dx\)
kar lahko smatras kot skalarni produkt med P_l in P_0 (enka - nicti legendrov polinom). Zaradi ortogonalnosti dobis nic za vse l>0 in normalizacijo nictega polinoma za l=0.