Reši integral

O matematiki, številih, množicah in računih...
student2
Prispevkov: 17
Pridružen: 29.9.2012 13:15

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a student2 »

Pogledal sem pametne integracije v Mathematici. Problem je, da vse, ki sem jih pregledal zahtevajo podano številčno vrednost mej, ki pa jih jaz ne poznam.

Integrale, ki nastopajo v eni enačbi imam razrešene. Imam pa še enačbi v katerih je integral o katerem govoriva in zelo podoben integral. Glede numeričnega reševanja sistema enačb: kolikor jaz razumem, bi moral najprej ločeno rešiti še ta dva integrala, rezultata vnesti v enačbi in potem numerično po eni izmed metod rešiti sistem 3x3.
Tu je rezultat nedoločenga integrala:
Priponke
integral.png
integral.png (7.92 KiB) Pogledano 6040 krat

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Nedoloceni integrali so res nevarni, ker se lahko zgodi, da sta meji na razlicnih vejah resitev, ce jih je slucajno vec.

Sistem 3x3 in te stvari ti avtomatika resi, ti samo podaj seznam funkcij, za katere hoces, da so nic.

sanej
Prispevkov: 71
Pridružen: 25.8.2010 18:00

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a sanej »

izračunati moram integral, ki ima poleg spremenljivke dva parametra.

\(\[ \int_0^\infty \frac{\cos(ax) -\cos(bx)}{x^2} \,\mathrm{d}x \]\)

razstavil sem na dva integrala in vsakega posebaj odvajal po parametru

dobim\(\[ \int_0^\infty \frac{\sin(bx)}{x} \]\) za oba integrala

težava je v tem da ta integral znam izračunati samo za parameter = 1 sin(x)/x bo Pi/2

moram pa ga na splošno. Ali je potrebno sin(bx) razviti na večkratne kote ali obstaja kakšna lažja opcija?

hvala za odgovore?

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Zajc »

Nova spremenljivka \(t=bx\).

Naloga se sicer lahko reši tudi z dvojnimi integrali:
\(\int_0^\infty\frac{\cos{(ax)}-\cos{(bx)}}{x^2}dx=\int_0^\infty\int_a^b\frac{\sin{(xy)}}{x}dy\ dx=\int_a^b\int_0^\infty\frac{\sin{(xy)}}{x}dx\ dy\)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No saj odvajanje po parametru je isto kot dvojna integracija (ker moras nazaj integrirat).

hodgetwins
Prispevkov: 5
Pridružen: 13.1.2013 14:18

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a hodgetwins »

ko sem koncno dojel odvode je tu ze naslednji problem :)
integrali ce se komu da nej mi resi bom zelo hvalezen:

\(\int_{-1}^1\((2-x^2+x^3)dx\)

\(\int_{1}^34\sqrt{x^3}dx\) <<< ta štirica je mišljeno četrti koren nisem vedel kako naj napisem

\(\int_{0}^4\e^{-6x} dx\)

hvala za odgovore.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No, to so pa najbolj osnovni mozni integrali, ki jih vsak srednjesolec zna na pamet. Pri prvem imas integral konstante in dva integrala potencnih funkcij, to upam da ni problem. Drugega zapisi v potencni obliki in imas isto.
Mimogrede \sqrt[4]{x^3} bo delovalo.
\(\int_1^4 \sqrt[4]{x^3}{\,\rm d}x=\int_1^4 x^{3/4}{\,\rm d}x=\frac{4}{3}x^{-1/4}|_1^4=\cdots\)
Tretji (\e ni posebna konstanta, pisi kar e), je integral eksponentne funckije. Nedoloceni integral je seveda
\(\int e^{kx}{\,\rm d}x=\frac{1}{k}e^{kx}\)
oziroma ce se tudi tega ne spomnis, lahko enostavno zamenjas spremenljivko u=-6x in uporabis dejstvo, da je integral "gole" eksponentne funkcije e^x kar nazaj ista funkcija.

Uporabniški avatar
bargo
Prispevkov: 7947
Pridružen: 3.11.2004 22:41

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a bargo »

Aniviller napisal/-a:No, to so pa najbolj osnovni mozni integrali, ki jih vsak srednjesolec zna na pamet. Pri prvem imas integral konstante in dva integrala potencnih funkcij, to upam da ni problem. Drugega zapisi v potencni obliki in imas isto.
Mimogrede \sqrt[4]{x^3} bo delovalo.
\(\int_1^4 \sqrt[4]{x^3}{\,\rm d}x=\int_1^4 x^{3/4}{\,\rm d}x=\frac{4}{3}x^{-1/4}|_1^4=\cdots\)
Tretji (\e ni posebna konstanta, pisi kar e), je integral eksponentne funckije. Nedoloceni integral je seveda
\(\int e^{kx}{\,\rm d}x=\frac{1}{k}e^{kx}\)
oziroma ce se tudi tega ne spomnis, lahko enostavno zamenjas spremenljivko u=-6x in uporabis dejstvo, da je integral "gole" eksponentne funkcije e^x kar nazaj ista funkcija.
8)
Si tudi mene spomnil, ni kaj. Vsaka čast !

Popotnik
Prispevkov: 532
Pridružen: 12.11.2008 18:35

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Popotnik »

Kako se reši ta integral - če se ga sploh da analitično?

\(\int_0^{\pi} P_{l}(cos(\theta)) d\theta\)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Popotnik napisal/-a:Kako se reši ta integral - če se ga sploh da analitično?

\(\int_0^{\pi} P_{l}(cos(\theta)) d\theta\)
Seveda. Ze ce ignoriras vse lepe lastnosti Legendrovih polinomov, so to le polinomi v kosinusu in integrali vseh potenc kosinusa po tako lepem intervalu so tabelirani. Sicer pa s substitucijo x=cos(theta) preides na standardni skalarni produkt Legendrovih polinomov: potem lahko uporabis ortogonalnost in pokazes, da gre v resnici le za razvoj zadeve, ki stoji zraven P_l, po bazi Legendrovih polinomov.

Popotnik
Prispevkov: 532
Pridružen: 12.11.2008 18:35

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Popotnik »

Hja no, sj Mathematica v bistvu to izračuna, a ne za splošen \(l\). In za visoke l računa zelo počasi, najbrž tudi Ona računa s polinomi.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Si ziher da ti ne manjka sin(theta)? To pride iz realnega problema ali je samo matematicna naloga? Ker fizikalno se pojavlja ravno v smislu ortogonalnih polinomov, in kadar je izrazeno s kosinusi (theta v smislu sfericnih koordinat), imajo integrali vedno jakobijan notri in zato sin(theta)d(theta)=d(cos(theta)). Ker v tejle obliki res ni ravno lepo.

Popotnik
Prispevkov: 532
Pridružen: 12.11.2008 18:35

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Popotnik »

Heheh, ja \(2 \pi sin(\theta)\) manjka :oops:

Popotnik
Prispevkov: 532
Pridružen: 12.11.2008 18:35

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Popotnik »

In rezultat \(4 sin(\pi l) \over l (l+1)\). Hvala!

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No, v tem primeru je to itak integral
\(\int_{-1}^1 P_l(x)dx\)
kar lahko smatras kot skalarni produkt med P_l in P_0 (enka - nicti legendrov polinom). Zaradi ortogonalnosti dobis nic za vse l>0 in normalizacijo nictega polinoma za l=0.

Odgovori