Danih je pet realnih idempotentnih 4×4 matrik ranga 2. Označimo jih z \(E_1,E_2,E_3,E_4,E_5\). Pokaži, da obstaja realna idempotentna 4×4 matrika \(E\) ranga 2, takšna, da so vse matrike \(E-E_i\) singularne (neobrnljive).
Če se kdo spozna na matrike, bi prosil za pomoč ...
Idempotentne matrike
Re: Idempotentne matrike
Lahko da je ocitna resitev ampak je ne vidim... lahko je kaj s tem:
Jedro matrike z rangom 2 v 4-prostoru je 2D. V 4d prostoru je popoln set 2D ravnin 6-dimenzionalen, ce ti ena manjka, obstaja ravnina, katere projekcija na vse ostale ravnine ni ravnina ampak premica. Ker so idempotentne matrike posplosene projekcije, mora to najbrz veljat ceprav projekcije niso nujno ortogonalne (!). Ce obstaja ravnina, ki izgleda na ostalih ravninah kot premica, imamo 2D vektorski prostor ax+by, ki ga vse Ei skrcijo za eno dimenzijo. Ce je ta cela matrika tudi v jedru E, bo ena dimenzija tudi v kombinaciji E-Ei preslikana v 0, torej ima E-Ei neprazno jedro in torej nepopoln rang.
Jedro matrike z rangom 2 v 4-prostoru je 2D. V 4d prostoru je popoln set 2D ravnin 6-dimenzionalen, ce ti ena manjka, obstaja ravnina, katere projekcija na vse ostale ravnine ni ravnina ampak premica. Ker so idempotentne matrike posplosene projekcije, mora to najbrz veljat ceprav projekcije niso nujno ortogonalne (!). Ce obstaja ravnina, ki izgleda na ostalih ravninah kot premica, imamo 2D vektorski prostor ax+by, ki ga vse Ei skrcijo za eno dimenzijo. Ce je ta cela matrika tudi v jedru E, bo ena dimenzija tudi v kombinaciji E-Ei preslikana v 0, torej ima E-Ei neprazno jedro in torej nepopoln rang.
Re: Idempotentne matrike
Ja, pet jih vzamem ker je \(5={4\choose 2}-1\). Dovolj je pokazat, da obstaja 2D podprostor, ki netrivialno seka vseh ostalih pet 2D prostorov (recimo če gledam jedra idempotentov).