kompleksni DFT/FFT

O matematiki, številih, množicah in računih...
Post Reply
xor
Posts: 40
Joined: 21.6.2012 7:28

kompleksni DFT/FFT

Post by xor » 21.6.2012 7:47

Pozdaravljeni!
Imam probleme pri razumevanju kompleksnega fourierjevega transforma.
Težav sicer nimam za navadni fourierjev transform, kjer iz signala dolgega N dobimo dva signala (realni in imaginarni del) dolg N/2.
Kjer lahko potem enostavno izračunamo absolutno vrednost, ter kot signala glede na okensko funkcijo na vhodu.

Za kompleksni transform, pa imamo dva vhodna signala. Zanima me, kako lahko potem dobim fazni kot glede na okensko funkcijo za oba signala. Sicer se mi zdi bi signala na vhodu ze itak morala biti zamaknjena za 90°(pač realna in imaginarna komponenta).
Torej če iz rezultata kompleksnega fft izračunam kot ( fi[k] = tan^-1 (Im[k]/Re[k])) bi potem moral dobiti nek fazni kot, za katerega sta oba signala zamaknjena glede na okensko funkcijo?Sklepam pravilno?
Že vnaprej hvala za odgovore!

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: kompleksni DFT/FFT

Post by Aniviller » 21.6.2012 18:05

Na precej okoren nacin si interpretiras tole. Ne si cepit kompleksnih stevil in jih obravnavat kot dva signala. Imas 1 kompleksni signal z N tockami na vhodu in en kompleksni spekter z N tockami, ki pride ven. To je vse. Ce je signal realen je vse popolnoma enako, samo da je spekter konjugirano kompleksen (vrednost pri negativni frekvenci je konjugirana vrednosti pri pozitivni frekvenci, torej je realni del sod in imaginarni del lih). Zato lahko v principu poves samo pol spektra, drugi del je potem ze ocitno kaksen je. Vse kar je pri kompleksnem signalu drugace je, da spekter ni simetricen: negativne frekvence imajo drugacne vrednosti kot pozitivne.

Seveda lahko vsako kompleksno vrednost pretvoris v polarni zapis in dobis s tem spetralno moc (absolutna vrednost) in fazni kot.

xor
Posts: 40
Joined: 21.6.2012 7:28

Re: kompleksni DFT/FFT

Post by xor » 22.6.2012 10:03

To mi je vse jasno. Zanimalo me je predvsem kako iz spektra kompleksnega signala dobiti spekter samo ene komponente vhodnega signala. No sedaj sem ugotovil, da se to naredi z sodo/liho dekompozicijo spektra.
Zanima pa me še kaj potem predstavlja fazni kot spektra pri pozitivni in pri negativni frekvenci. Po moji logiki, bi morala to biti direktno faza vhodnega signala, samo kater kot? Kot iz pozitivne ali iz negativne frekvence ali kakšna kombinacija obeh?
Pravzaprav ne razumem negativne frekvence.
Hvala za odgovor

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: kompleksni DFT/FFT

Post by Aniviller » 22.6.2012 17:32

Ja, cepljenje na sodi in lihi del pomaga, to je direktna posledica tega, da je transformacija realnega signala konjugirano kompleksna za negativne in pozitivne frekvence, za imaginarnega je pa pri negativnih frekvencah MINUS konjugirana vrednost tiste pri pozitivnih.

Negativne in pozitivne frekvence moras imet zato, ker gledas polna kompleksna stevila in tisto, kar je zgolj sinusno nihanje v realnem, je lahko krozenje v levo ali v desno v kompleksnem (realni del je samo projekcija na eno os). In ce je signal polno kompleksen, lahko vsebuje razlicne kolicine enega in drugega nacina. Ce je signal realen, je pa seveda negativne toliko kot pozitivne, ker je
\(\cos \omega t=\frac{1}{2}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})\)
in vidis da sta faktorja enaka.

Torej, fazna faktorja za negativno in pozitivno komponento sta razlicni in za kompleksen signal gre vsak po svoje (obravnavas jih loceno). Ce pa hoces fazni faktor za realni in imaginarni del obravnavat loceno, ga pa dobis iz sodo-lihega razcepa spektra.

xor
Posts: 40
Joined: 21.6.2012 7:28

Re: kompleksni DFT/FFT

Post by xor » 11.2.2013 21:59

Spet mi nekaj ni jasno:
Ko računamo harmonske komponente periodičnega signala za korelacijo uporabimo kompleksni signal e^(j*2*pi*f*k*t) - eksponent ima torej + predznak

Pri računanju fourierjevega transforma pa je eksponent kompleksnega signala negativen. Imamo torej obratno smer vrtenja. Zanima me zakaj ni v obeh primerih enako?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: kompleksni DFT/FFT

Post by Aniviller » 11.2.2013 22:08

To je le stvar definicije. Glede teh predznakov in faktorjev (in tudi normalizacije) je velika zmeda, vsaka fizikalna ali tehnicna panoga ima malo drugacne dogovore (iz tega, da uprabljas j-maginarno namesto imaginarno enoto, sklepam da si iz elektrotehnicnih smeri). Glavno je le, da ima transformacija v frekvencni prostor obraten predznak kot inverzna transformacija. Ze to kar tukaj navajas, mi je zelo tuje: v matematiki in fiziki je naravno govoriti o krozni frekvenci, ki je bolj naravna mera, kot pa tlacenje 2*pi faktorja v vsak izraz.

Torej, vedno poglej po kateri definiciji delas, ce uporabis del obrazcev iz ene, del iz druge definicije, bo vse narobe.

xor
Posts: 40
Joined: 21.6.2012 7:28

Re: kompleksni DFT/FFT

Post by xor » 11.2.2013 22:18

Saj sem hotel napisat omega pa ga nisem znal zapisat tu na forumu :)
Hvala za odgovor

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: kompleksni DFT/FFT

Post by Aniviller » 11.2.2013 22:25

Forum podpira LaTeX:
\(e^{i\omega t}\)
kjer v primeru diskretnih frekvenc lahko pises \(\omega=k\omega_0\), kjer \(\omega_0=\frac{2\pi}{T}\) predstavlja osnovno frekvenco (periodicnost signala). V primeru DFT pa seveda tudi \(t=T\frac{m}{n}\) kjer je n stevilo tock in m zaporedna stevilka tocke, T pa perioda.

Post Reply