Imam
\(T(r, \theta, t) = \sum_{l} A_{l} j_{l}(k_{l} r) P_{l}(\cos(\theta))\exp(-k_{l}^2 D t)\)
Torej kaj pride, če užgem \(\nabla^2 T(r, \theta, t)\)?
Sferično - nastavki
Re: Sferično - nastavki
Dobis isto nazaj, pomnozeno z \(-k_l^2\) (znotraj vsote - vsak clen ima svoj faktor).
Re: Sferično - nastavki
Prav, torej velja:
\(\nabla^2 T(r, \theta, t) = \sum_{l} -k_{l}^2 A_{l} j_{l}(k_{l} r) P_{l}(\cos(\theta))\exp(-k_{l}^2 D t)\), kjer je \(k_{l}^2 = l (l+1)\)
\(\nabla^2 T(r, \theta, t) = \sum_{l} -k_{l}^2 A_{l} j_{l}(k_{l} r) P_{l}(\cos(\theta))\exp(-k_{l}^2 D t)\), kjer je \(k_{l}^2 = l (l+1)\)
Re: Sferično - nastavki
Hm... mislim da je tale "k" nekaj drugega - on steje radialne "nihajne" nacine (stevilo nicel po radiju). Doloca ga robni pogoj. l-del nabla^2 operatorja se mora itak samodejno skompenzirat s tem, ko je Legendrov polinom pravilno izbran.
Re: Sferično - nastavki
V bistvu bi moral imet
\(T(r, \theta, t) = \sum_{n l} A_{n l} j_{l}(k_{n l} r) P_{l}(\cos(\theta))\exp(-k_{n l}^2 D t)\)
in potem
\(\nabla^2 T(r, \theta, t) = \sum_{n l} -k_{n l}^2 A_{n l} j_{l}(k_{n l} r) P_{l}(\cos(\theta))\exp(-k_{n l}^2 D t)\)
\(k_{nl}\) je pa očitno lahko res tudi kaj drugega - npr. \(k_{0 n} = {n \pi \over R}\) ali pa \(k_{l} = { l (l+1) \over R^2\). Obstaja kaka vmesna varianta teh koeficientov, torej da je \(T\) odvisen od \(\theta\) in \(r\)?
\(T(r, \theta, t) = \sum_{n l} A_{n l} j_{l}(k_{n l} r) P_{l}(\cos(\theta))\exp(-k_{n l}^2 D t)\)
in potem
\(\nabla^2 T(r, \theta, t) = \sum_{n l} -k_{n l}^2 A_{n l} j_{l}(k_{n l} r) P_{l}(\cos(\theta))\exp(-k_{n l}^2 D t)\)
\(k_{nl}\) je pa očitno lahko res tudi kaj drugega - npr. \(k_{0 n} = {n \pi \over R}\) ali pa \(k_{l} = { l (l+1) \over R^2\). Obstaja kaka vmesna varianta teh koeficientov, torej da je \(T\) odvisen od \(\theta\) in \(r\)?
Re: Sferično - nastavki
Saj je odvisen od r in theta, saj to je smisel tega razvoja (pa se od fi je odvisno, ce uporabis cel sfericni razvoj po Y_lm funkcijah, katerih specialni primer za m=0 so Legendrovi polinomi). Vsako mesano funkcijo vseh teh koordinat se da razvit po sfericnih funkcijah. Ce ni kar direkten produkt NEKAJ(r)*NEKAJ(theta), pac rabis vec kot en clen.
tisti "k" stoji v sfericni besslovi funkciji in zakodira samo robni pogoj po radiju. Nima veze z l. Vedno dobis stevno neskoncno resitev, vsaka naslednja ima eno niclo po radiju vec. Ponavadi jih oznacis z "kvantnim" svetilom n (in ja, isti pomen ima pri periodnem sistemu, kjer imas sfericni razvoj valovnih funkcij elektrona okrog jedra).
tisti "k" stoji v sfericni besslovi funkciji in zakodira samo robni pogoj po radiju. Nima veze z l. Vedno dobis stevno neskoncno resitev, vsaka naslednja ima eno niclo po radiju vec. Ponavadi jih oznacis z "kvantnim" svetilom n (in ja, isti pomen ima pri periodnem sistemu, kjer imas sfericni razvoj valovnih funkcij elektrona okrog jedra).