1. Dana je funkcija f(x)=x*e^x
a) Določite definicijsko območje in ničle
b) Določite ekstreme in prevoje
c) Na katerem intervalu je funkcija hkrati padajoča in konveksna?
2. Narišite graf za f(x)=a/(x^2+3). Naprej določite a tako, da bo graf funkcije potekal skozi točko T (1, 1/2)
3. Narišite graf ulomljene racionalne funkcije f(x)=1/(x^2-x)
1) No nekaj bo pa ze slo... definicijsko obmocje je ocitno. Nicla je x=0 (eksponentna funkcija nima nicel, edina stvar ki prispeva k niclam je x spredaj). Za ekstreme in prevoje bo treba odvajat... odvajaj kot produkt in bo rezultat hitro jasen. Pri c) se moras pa samo spomnit kaksna je zveza med odvodi in med konkavnostjo/konveksnostjo in padanjem/narascanjem. Povej kje se zatakne pa greva lahko naprej.
2) No, ce hoces, da gre funkcija skozi (1,1/2), mora bit \(1/2=\frac{a}{1^2+3}\) od koder znas dolocit a.
3) Poisci pole, nicle in asimptote in mogoce kaksno tocko vmes, ce ti ni cisto jasno kako gre funkcija. Ce vidis, da bo imela ekstreme, se splaca se izracunat odvod in pogledat kje so ekstremi.
1) Uh daj malo vadi odvajanje. Tole ni prav odvajano: \(f'(x)=(x e^x)'=e^x\mathbf{+}x e^x=(1+x)e^x\)
od koder izves, da ima funkcija ekstrem (minimum) pri x=-1. To, da je minimum lahko izves iz 2. odvoda ali pa iz zdrave pameti (pri x=-1 je \(f(-1)=-e^{-1}\) kar je negativno, pri x=0 je pa nic, torej mora vmes narascat).
Ko to se enkrat odvajas, dobis \(f''(x)=((1+x)e^x)'=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x\)
se pravi je prevoj pri x=-2.
Kaksen ucbenik ali zapiske pa lahko tudi odpres, ali pa kar wikipedijo... takoj ti povedo, da je odvod naklon tangente: ce je ta pozitiven, funkcija narasca, v nasprotnem primeru pada. Drugi odvod je pozitiven, kjer je funkcija konveksna (tipicen primer je y=x^2), negativen pa pomeni da je konkavna (primer y=-x^2). To je tudi enostavno razumljivo na ta nacin: pozitiven odvod pomeni, da strmina narasca, negativen pa da strmina pada. Ce strmina ravno neha padat in zacne narascat (ali obratno), je drugi odvod 0, funkcija pa ima tam prevoj, ki ima znacilno "S" obliko.
2) Nicel ni (stevec bi moral bit 0 in to ni nikoli), ves tudi, da gre funkcija v neskoncnosti proti 0. Funkcija je soda - levo-desno simetricna. Iz tega brez odvajanja sledi, da ima ekstrem pri x=0. Ker je povsod pozitivna, je ta ekstrem maksimum. Ce vstavis x=0, dobis tudi tocko (0,2/3), s cimer zdaj res ni tezko narisat funkcije (neke vrste hribcek je). Mogoce za vajo lahko se pogledas kje so prevoji. Po pameti ves, da jih mora imet, ker ce si najprej na maksimumu in se kotalis navzdol, je vedno bolj strmo... ampak v neskoncnosti se mora pa zravnat na 0, torej mora enkrat nehat postajat vedno bolj strmo in se zacet izravnavat.
3) Ja, nicel ni. Pole imas prav dolocene, asimptoto tudi. Odvod: odvajas kot kvocient in dobis \(f'(x)=\frac{0-(2x-1)}{(x^2-x)^2}\)
Tudi ce bi dobil tisto kar imas ti, bi ti kvadratna enacba takoj povedala rezultat.
Nasvet: vse si da predstavljat. Seveda je treba zvadit racunanje ampak vse rezultate se da preverit in razumet (in odkrit napake), ce na vsakem koraku v mislih ali na papirju pogledas kaj si naredil.
