Ja za fizike je tole bolj umetnost/instinkt, dobis z vajo
Ohranitev je zapisana diferencialno. Diferencial je za en diferencialni red "manjsi" od koncno velikih clenov. Visji diferencialni redi so zanemarljivi eksaktno, ker moras vsak diferencialni izraz smatrat kot limito
\(dt,dv\to 0\) (spomni se definicije odvoda). To, kar dobis ostane samo zato, ker je diferencialni red na obeh straneh enak (noben ni zanemarljiv proti drugemu, dt lahko neses na desno in dobis koncen izraz). Ce bi ostal le en clen brez diferenciala, bi bilo treba stran zmetat vse clene, ki imajo kakrsenkoli diferencial notri.
Formalno (ce so diferenciali res misljeni matematicno kot diferenciali), morajo nujno biti vsi cleni istega diferencialnega reda. To kar si opisal, je postopek kako prides do tega matematicno pravilnega koncnega rezultata. Strogo gledano je to prav le, ce smatras, da zraven vedno stoji limita, ki je ne pisemo, in jo tiho uporabimo v zadnjem koraku. V fiziki se to redno uporablja in odlicno deluje.
Pravzaprav je to, kar zapisujes zakrinkan Taylorjev razvoj. Primerjaj tale dva postopka:
\(f(x+dx)-f(x-dx)=g(x)dx\) //lokalni ohranitveni zakon ali kaj podobnega
\(f(x)+f'(x)dx-(f(x)-f'(x)dx)=g(x)dx\) //razvoj po Taylorju, uganemo, da ne bomo rabili visjih clenov. Ce bi se tudi f'(x) odstel, ne bi smeli naslednjega opustit
\(2f'(x)dx=g(x)dx\) //vidimo da je vse ok, vsi so istega reda
\(2f'(x)=g(x)\) //v limiti je to isto kot tisto zgoraj
Bolj matematicno cist postopek:
\(f(x+h)-f(x-h)\approx g(x)h\) //priblizno - tocno je samo v limiti h proti 0
\(g(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{h}\)
\(g(x)=2\lim_{h\to 0}\frac{f(x-h+2h)-f(x-h)}{2h}\) //predelamo na definicijo odvoda
\(g(x)=2\lim_{h\to 0}f'(x-h)=2f'(x)\) //TA-DA
Splosno uporabni prijemi:
* !! Simetrija (iz simetrije sledijo vsi ohranitveni zakoni, poenostavitve in nasploh vse kar je lepega v fiziki)
* primer: sestevanje in odstevanje enacb, ki uposteva simetrijo (ponavadi odpravi potrebo po resevanju sistema enacb)
* Taylorjev razvoj
* Asimptoticni razvoj
* Vektorski zapis cim dlje v izpeljavi, koordinate so zlobne.
* Prehod med diferencialnimi in integralskimi zapisi ohranitvenih zakonov (Gaussov in Stokesov izrek)
* Analogija s podobnimi sistemi
* Zapis z minimizacijo in ohranitvami je ponavadi boljsi kot Newtonov zakon
* Obcutek, ki ga imas za racunanje integralov, pride prav na vseh podrocjih
* Avtomaticna prepoznava nekaj osnovnih resitev navadnih in diferencialnih enacb ponavadi omogoca zapis nastavka in sploh ni treba resevat (potencne in eksponentne resitve, logaritem, vsota geometrijske vrste,...).
Standardna literatura je seveda mafija - Kodre, Kuscer - Matematika v fiziki in tehniki. Ceprav marsikdo mafijo jemlje bolj povrsno, je na koncu to tisto, kar ti da povezavo med matematiko in fiziko.
