Imamo neko periodično funkcijo. Vzamemo nek poljuben odsek enega vala, tako, da funkcija ni niti liha, niti soda.
Zakaj dobimo samo kot rezultat samo lihe harmonike, tako od cosinusa in od sinusa?
Fourierjeva analiza
Re: Fourierjeva analiza
Hm... si lahko bolj specificen? Kako sirok odsek? Koliko valov je notri? Sam premik iz izhodisca ne mesa frekvenc ampak samo pretvarja med sinusnimi in kosinusnimi cleni.
Re: Fourierjeva analiza
Noter je en val.
Da, premik iz izhodišča samo meša sinusne in kosinusne člene. A ravno zato nisem dal simetrične krivulje, da se vidi, da je isto pojav tudi pri sinusnih členih, torej, da so sodi harmoniki enaki nič. ž
Če gledam razvoje po matematičnem priročniku so tudi povsod samo lihi členi. Zakaj so sodi členi nič?
Da, premik iz izhodišča samo meša sinusne in kosinusne člene. A ravno zato nisem dal simetrične krivulje, da se vidi, da je isto pojav tudi pri sinusnih členih, torej, da so sodi harmoniki enaki nič. ž
Če gledam razvoje po matematičnem priročniku so tudi povsod samo lihi členi. Zakaj so sodi členi nič?
Re: Fourierjeva analiza
Kaj mislis pod "1 val". Ker ce transformiras sinus od 0 do 2pi (ena perioda) imas itak samo en clen - osnoven sinus (pa malo kosinusa, ce premaknes).
Sicer lahko na splosno ugotovis naslednje: sodi cleni manjkajo, ce je funkcija lahko tako soda kot liha, ce jo prav premaknes (ima torej simetrijske lastnosti obeh). Recimo, da imas poravnano tako, da je liha. Potem bi moral premik za cetrt periode naredit sodo:
\(\sin (k(x-\pi/2))=\sin kx \cos k\pi/2 -\cos kx \sin k \pi/2\)
\(\cos (k(x-\pi/2))=\cos kx \cos k\pi/2+\sin kx \sin k \pi/2\)
Torej, sinus mora it kosinus in kosinus v sinus. To pomeni, da mora biti
\(\cos\frac{k\pi}{2}=0\) (prvi clen mora izginit v obeh primerih)
To je res, ko je
\(\frac{k\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+n\pi\)
oziroma
\(k=2n+1\).
Torej, cim imas funkcijo, ki ima lastnost, da se pri premiku za cetrt vala spremeni iz sode v liho in obratno (ze sam sinus je tak), sodi cleni izginejo. Primer take funkcije je recimo trikotna zaga: ce stojis na vrhu zoba, je soda, ce stojis na sredi klanca, je liha.
Sicer lahko na splosno ugotovis naslednje: sodi cleni manjkajo, ce je funkcija lahko tako soda kot liha, ce jo prav premaknes (ima torej simetrijske lastnosti obeh). Recimo, da imas poravnano tako, da je liha. Potem bi moral premik za cetrt periode naredit sodo:
\(\sin (k(x-\pi/2))=\sin kx \cos k\pi/2 -\cos kx \sin k \pi/2\)
\(\cos (k(x-\pi/2))=\cos kx \cos k\pi/2+\sin kx \sin k \pi/2\)
Torej, sinus mora it kosinus in kosinus v sinus. To pomeni, da mora biti
\(\cos\frac{k\pi}{2}=0\) (prvi clen mora izginit v obeh primerih)
To je res, ko je
\(\frac{k\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+n\pi\)
oziroma
\(k=2n+1\).
Torej, cim imas funkcijo, ki ima lastnost, da se pri premiku za cetrt vala spremeni iz sode v liho in obratno (ze sam sinus je tak), sodi cleni izginejo. Primer take funkcije je recimo trikotna zaga: ce stojis na vrhu zoba, je soda, ce stojis na sredi klanca, je liha.
Re: Fourierjeva analiza
Živjo
imamo funkcijo f(x) = 1 za 0 < x <=h in 0 za h < x < Pi
razviti jo je potrebno po kosinusih. Če to funkcijo preslikamo čez ordinatno os, postane soda. potem poiščemo \(a_0 = 2\)
ko pa iščemo \(a_n\) pa dobim 0 oziroma \(\[ \frac{2\sin(\Pi n)}{n\Pi} \]\) za n = naravno tevilo
Če pa razvijemo po sinusih pa se pojavi nek člen za \(b_n\). vendar to ni logično ker pri sodih funkcijah bi moral biti \(b_n\) nič !!
Kje je tukaj uganka?
hvala za odgovore
imamo funkcijo f(x) = 1 za 0 < x <=h in 0 za h < x < Pi
razviti jo je potrebno po kosinusih. Če to funkcijo preslikamo čez ordinatno os, postane soda. potem poiščemo \(a_0 = 2\)
ko pa iščemo \(a_n\) pa dobim 0 oziroma \(\[ \frac{2\sin(\Pi n)}{n\Pi} \]\) za n = naravno tevilo
Če pa razvijemo po sinusih pa se pojavi nek člen za \(b_n\). vendar to ni logično ker pri sodih funkcijah bi moral biti \(b_n\) nič !!
Kje je tukaj uganka?
hvala za odgovore
Re: Fourierjeva analiza
Ce integriras samo od 0 do pi po sinusih, v resnici dobivas koeficiente lihe razsiritve.
Ce si se odlocil za sodo razsiritev, si ze tiho uporabil dejstvo, da kosinus po obmocju -pi,pi da dvojni odgovor kot 0,pi. Sinus pa da nic. Integral od 0 do pi po sinusih torej sploh ni uporaben za tvoj racun, ker ze ves, da po sodi razsiritvi dobis 0.
Ce si se odlocil za sodo razsiritev, si ze tiho uporabil dejstvo, da kosinus po obmocju -pi,pi da dvojni odgovor kot 0,pi. Sinus pa da nic. Integral od 0 do pi po sinusih torej sploh ni uporaben za tvoj racun, ker ze ves, da po sodi razsiritvi dobis 0.