Pozdravljeni,
s pomočjo stokesovega izreka izračunaj integral ∫ˇK F dr, kjer je F(x,y.z)=(yz-3y^2,xz,xy-x), sklenjena krivulja K pa je podana kot presek paraboloidov z=x^2+3y^2 in z= 4-3x^2-y^2?
Naredila sem takole:
x=cost
y=sint
z=0
F(x,y,z)=(-3sin^2t,0,cost sint-cost)
dr=(-sint,cost,o)
stokesov izrek :∫ˇK F dr= ∫∫ˇP 3sin^3t dt
ali je to prav?kako dalje?
hvala za odgovor
stokesov izrek
Re: stokesov izrek
No tukaj ni nikjer uporabljen stokesov izrek (in dobljeni integral je se vedno enodimenzionalen in ga brez tezav izracunas brez racunanja).
Z uporabo stokesovega izreka lahko pretvoris tale integral na pretok rotorja po objeti ploskvi. Rotor izracunas, ploskev je pa krog, katerega normala je (0,0,1).
Z uporabo stokesovega izreka lahko pretvoris tale integral na pretok rotorja po objeti ploskvi. Rotor izracunas, ploskev je pa krog, katerega normala je (0,0,1).
Re: stokesov izrek
rot F=(0,1,6y)
v= (x,y,-2x^2+2y-4)
dobim ∫∫ˇP=(0,1,6y)((x,y,-2x^2+2y-4)/2)dS
Kako dalje?
v= (x,y,-2x^2+2y-4)
dobim ∫∫ˇP=(0,1,6y)((x,y,-2x^2+2y-4)/2)dS
Kako dalje?
Re: stokesov izrek
No saj ne vem kaj sploh racunas. Kaj je v? Ploskev skozi katero gledas pretok? Ce je to res, potem imas normalo ploskve narobe izracunano.
Re: stokesov izrek
pozdravljeni,
ali bi vas lahko prosila ali bi mi lahko opisali(napisali)kako rešiti to nalogo, ker tega izreka res ne razumem.
bi vam bila zelo hvaležna.
ali bi vas lahko prosila ali bi mi lahko opisali(napisali)kako rešiti to nalogo, ker tega izreka res ne razumem.
bi vam bila zelo hvaležna.
Re: stokesov izrek
Najprej rabim besedilo naloge oziroma kaj se sploh dogaja. Jaz vidim samo dva vektorja in en cuden integral, ki sploh ne vem cemu sluzi. Ko bo jasno kaj je vprasanje, pa lahko debatirava in riseva.
Re: stokesov izrek
Pozdravljeni,
hvala za pomoč in potrpežljivost.Navodilo naloge je: s pomočjo stokesovega izreka izračunaj integral ∫ˇK F dr, kjer je F(x,y.z)=(yz-3y^2,xz,xy-x), sklenjena krivulja K pa je podana kot presek paraboloidov z=x^2+3y^2 in z= 4-3x^2-y^2. Pri tem je krivulja usmerjena v pozitivno smer, če na njo gledamo iz točke (0,0,100).
hvala za pomoč in potrpežljivost.Navodilo naloge je: s pomočjo stokesovega izreka izračunaj integral ∫ˇK F dr, kjer je F(x,y.z)=(yz-3y^2,xz,xy-x), sklenjena krivulja K pa je podana kot presek paraboloidov z=x^2+3y^2 in z= 4-3x^2-y^2. Pri tem je krivulja usmerjena v pozitivno smer, če na njo gledamo iz točke (0,0,100).
Re: stokesov izrek
No, najprej je treba ugotovit kaksno krivuljo imas. Presek paraboloidov:
\(z=z\)
\(x^2+3y^2=4-3x^2-y^2\)
\(4x^2+4y^2=4\)
\(x^2+y^2=1\)
Torej, x in y koordinata krivulje K opiseta kroznico s polmerom 1: krivulja ima tako projekcijo na xy ravnino: "z" koordinata se seveda spreminja, ampak to nas ne bo brigalo, ker bomo uporabili Stokesov izrek!
Stokesov izrek govori o tem, da je integral vektorskega polja po sklenjeni krivulji (integriras skalarni produkt vektorja na tangento krivulje), enak pretoku rotorja skozi objeto ploskev, katerokoli ze. V nasem primeru imamo prednost, da lahko za to objeto ploskev vzamemo enega izmed paraboloidov (po nasem okusu seveda, rezultat mora bit neodvisen od izbire ploskve, le ploskev se mora koncat na krivulji, ki nas zanima. Torej, ce integriras pretok (skalarni produkt rotorja z normalo na ploskev) po recimo prvem paraboloidu, bo vse ok.
Seveda moras upostevat tudi locni element: integral bo zdaj oblike
\(\iint(\nabla \times \vec{F})\cdot \,d\vec{S}\)
Kjer dS zdaj opisuje ne samo velikost ploskvice ampak tudi smer normale. Dobis jo kot vektorski produkt dveh baznih vektorjev v ravnini ploskve:
\(d\vec{S}=(d\vec{r}/dx \times d\vec{r}/dy)dx\,dy\)
kjer je r=(x,y,z). Oklepaj, ki je normala na ploskev, pride \((-dz/dx,-dz/dy,1)=(-2x,-3y,1)\) ce vzames prvi paraboloid.
Ce poracunas rotor danega vektorskega polja, dobis pa \(\nabla\times \vec{F}=(0,1,6y)\) in ko to spakiras v integral, pride
\(\iint (0,1,6y)(-2x,-3y,1)dx\,dy=\iint 3y\,dx\,dy\)
Zdaj pa upostevas se meje (x in y znotraj kroznice s polmerom 1). Lahko se gres lomit z integracijo ampak rezultat bo itak 0, ker je pod integralom y, ki je lih, obmocje integracije je pa simetricno po y, torej bo y<0 del ravno pokrajsal y>0.
Postopek, se posebej tole z normalami, je zelo nepregleden, so pa to le podrobnosti racunrije. Bistvo Stokesovega izreka je, da ce integriras komponento nekega polja vzdolz neke sklenjene krivulje (skalarni produkt s tangento pac vzame vzdolzno komponento), je isto kot ce pogledas rotor polja in pointegriras po notranjosti zanke - cudezno bo rezultat neodvisen od izbire ploskve, le da je rob ploskve na zacetni krivulji. Integral, ki ga potem izvajas, je skalarni produkt na normalo ploskve, kar lahko smatras kot pretok. Recimo integral vektorja hitrosti tekocine po neki ploskvi ti bo dal pretok tekocine skozi ploskev, kar v primeru dolgocasnega vzporednega toka po cevi da enacbo \(\Phi_v =vS\), in jasno je, da skozi vsako ploskev, ne glede na to kaksne oblike je, mora iti vedno isti pretok (kolikor gre noter, toliko gre ven).
Primer Stokesovega izreka v fiziki je magnetna indukcija. Sprememba magnetnega pretoka skozi sklenjeno zanko je enaka inducirani napetosti vzdolz zanke.
\(z=z\)
\(x^2+3y^2=4-3x^2-y^2\)
\(4x^2+4y^2=4\)
\(x^2+y^2=1\)
Torej, x in y koordinata krivulje K opiseta kroznico s polmerom 1: krivulja ima tako projekcijo na xy ravnino: "z" koordinata se seveda spreminja, ampak to nas ne bo brigalo, ker bomo uporabili Stokesov izrek!
Stokesov izrek govori o tem, da je integral vektorskega polja po sklenjeni krivulji (integriras skalarni produkt vektorja na tangento krivulje), enak pretoku rotorja skozi objeto ploskev, katerokoli ze. V nasem primeru imamo prednost, da lahko za to objeto ploskev vzamemo enega izmed paraboloidov (po nasem okusu seveda, rezultat mora bit neodvisen od izbire ploskve, le ploskev se mora koncat na krivulji, ki nas zanima. Torej, ce integriras pretok (skalarni produkt rotorja z normalo na ploskev) po recimo prvem paraboloidu, bo vse ok.
Seveda moras upostevat tudi locni element: integral bo zdaj oblike
\(\iint(\nabla \times \vec{F})\cdot \,d\vec{S}\)
Kjer dS zdaj opisuje ne samo velikost ploskvice ampak tudi smer normale. Dobis jo kot vektorski produkt dveh baznih vektorjev v ravnini ploskve:
\(d\vec{S}=(d\vec{r}/dx \times d\vec{r}/dy)dx\,dy\)
kjer je r=(x,y,z). Oklepaj, ki je normala na ploskev, pride \((-dz/dx,-dz/dy,1)=(-2x,-3y,1)\) ce vzames prvi paraboloid.
Ce poracunas rotor danega vektorskega polja, dobis pa \(\nabla\times \vec{F}=(0,1,6y)\) in ko to spakiras v integral, pride
\(\iint (0,1,6y)(-2x,-3y,1)dx\,dy=\iint 3y\,dx\,dy\)
Zdaj pa upostevas se meje (x in y znotraj kroznice s polmerom 1). Lahko se gres lomit z integracijo ampak rezultat bo itak 0, ker je pod integralom y, ki je lih, obmocje integracije je pa simetricno po y, torej bo y<0 del ravno pokrajsal y>0.
Postopek, se posebej tole z normalami, je zelo nepregleden, so pa to le podrobnosti racunrije. Bistvo Stokesovega izreka je, da ce integriras komponento nekega polja vzdolz neke sklenjene krivulje (skalarni produkt s tangento pac vzame vzdolzno komponento), je isto kot ce pogledas rotor polja in pointegriras po notranjosti zanke - cudezno bo rezultat neodvisen od izbire ploskve, le da je rob ploskve na zacetni krivulji. Integral, ki ga potem izvajas, je skalarni produkt na normalo ploskve, kar lahko smatras kot pretok. Recimo integral vektorja hitrosti tekocine po neki ploskvi ti bo dal pretok tekocine skozi ploskev, kar v primeru dolgocasnega vzporednega toka po cevi da enacbo \(\Phi_v =vS\), in jasno je, da skozi vsako ploskev, ne glede na to kaksne oblike je, mora iti vedno isti pretok (kolikor gre noter, toliko gre ven).
Primer Stokesovega izreka v fiziki je magnetna indukcija. Sprememba magnetnega pretoka skozi sklenjeno zanko je enaka inducirani napetosti vzdolz zanke.
Re: stokesov izrek
katere pa so meje?
Re: stokesov izrek
Saj ti ni treba integrirat, ker vidis da je liho 
Sicer pa je integracijsko obmocje enotska kroznica. Ce si noces vseh nog polomit na korenih, gres na polarni sistem:
x=r*cos(fi)
y=r*sin(fi)
dx*dy=r*dr*dfi
in integriras po fi po celem krogu, po r pa od 0 do 1. Ampak kot receno, tukaj nimas kaj integrirat ker je rezultat ociten.
Sicer pa je integracijsko obmocje enotska kroznica. Ce si noces vseh nog polomit na korenih, gres na polarni sistem:
x=r*cos(fi)
y=r*sin(fi)
dx*dy=r*dr*dfi
in integriras po fi po celem krogu, po r pa od 0 do 1. Ampak kot receno, tukaj nimas kaj integrirat ker je rezultat ociten.