Vektorji a,b in c napenjajo paralelepiped prostornine 3. Določi prostornino paralelepipeda, ki ga določajo vektorji a+b-2c, 2a-b+2c ter -3a+b-5c.
Jaz sem se lotil nekako tako: Ker vem da je mešan produkt treh vektorjev enak prostornini paralelepipeda, sem z poskušanjem našel vektorje a,b,c. Potem to vstavim v te vektorje in naredim mešani produkt še enkrat, dobim negativno število.. To ni prav.
Nic poskusat, samo razpisi rezultat. Mesani produkt je distributiven, tako da lahko po vsaki komponenti razpisas v vsoto mesanih produktov. Potem stran vrzes vse kombinacije, ki imajo dvakrat isti vektor (ti prispevajo 0), tako da ti ostanejo samo cleni, kjer nastopajo le a,b,c (predznak je seveda drugacen ce so ciklicno anticiklicno razporejeni). Uporabis pac (a,b,c)=3.
Mozno da dobis negativno, to samo pomeni, da je drugi paralelopiped nasprotno orientiran kot prvi.
Izracunat moras izraz \((a+b-2c, 2a-b+2c, -3a+b-5c)\)
Razpisemo po prvi komponenti: \((a, 2a-b+2c, -3a+b-5c)+(b, 2a-b+2c, -3a+b-5c)\)\(-2(c, 2a-b+2c, -3a+b-5c)\)
Na tem mestu lahko takoj pohitris postopek. Ves, da je mesani produkt z dvema istima vektorjema vedno 0. Zato lahko v prvem clenu pobrises vse a-je v zadnjih dveh komponentah, v drugi b-je in v tretji c-je, saj ne prispevajo nic, ker bi podvojili vektor v prvi komponenti: \((a, -b+2c, b-5c)+(b, 2a+2c, -3a-5c)-2(c, 2a-b, -3a+b)\)
Zdaj ko imas to poenostavljeno, se lazje lotis naslednjih komponent: \((a, -b, b-5c)+(a, 2c, b-5c)+(b, 2a, -3a-5c)+\)\((b, 2c, -3a-5c)-2(c, 2a, -3a+b)-2(c, -b, -3a+b)\)
Stevilske konstante lahko spet neses spredaj, in seveda spet pobijes vse dvojnike v tretji komponenti: \(-(a, b, -5c)+2(a, c, b)+2(b, a, -5c)\)\(+2(b, c, -3a)-4(c, a, b)+2(c, b, -3a)\)
Razresis se preostale konstante: \(5(a, b, c)+2(a, c, b)-10(b, a, c)-6(b, c, a)-4(c, a, b)-6(c, b, a)\)
Zdaj je vse izrazeno z (a,b,c), ki ga poznas. Ciklicne permutacije predznaka ne spremenijo, ostale pa ga - tako lahko vse uredis po vrsti: \(5(a, b, c)-2(a,b, c)+10(a, b, c)-6(a,b, c,)-4( a, b,c)+6(a,b,c)\)\(=9(a,b,c)=27\)
