Googlove naloge

[Tommo]

Tole sem pobral na Dnevnikovem spletnem portalu

http://www.dnevnik.si/magazin/aktualno/ ... i-genialci

Res zanimivih je samo par vprašanj (spodaj), na katera so podani odgovori skoraj gotovo napačni. Kako bi vi rešili dane naloge?

1. Kolikšna je verjetnost, da pri lomljenju palice na tri dele dobite trikotnik?
Odgovor: To vprašanje je v primerjavi z drugimi absurdno lahko. Glede na to, da vprašanje ne omenja dolžine stranic, je odgovor „100 odstotna verjetnost“.

2. V državi, kjer si vsaka družina prizadeva imeti zgolj moške potomce, pari vztrajno poizkušajo zanositi, dokler ne dobijo fantka. Če dobijo deklico, poskušajo naprej, če dobijo fantka, prenehajo s povečevanjem družine. Kakšno je razmerje med dekleti in fanti v državi?
Odgovor: Odgovor bi bil sprejemljiv v takšni obliki:

Imate 10 parov, ki imajo po deset otrok. Od teh je pet fantov, pet deklet.

Pet parov, ki imajo deklice, bo imelo še pet otrok, polovico teh pa bo fantov.

Polovica parov, ki ponovno dobi deklice, gre v naslednji krog in tako dalje.

3. Tega sicer ni na linku, ampak sem ga pa slišal nekje drugje. Imamo sod vina in skodelico vode. Iz soda zajamemo žlico vina in jo primešamo v skodelico vode. Nato z isto žlico zajamemo iz skodelice in mešanico vina in vode zlijemo nazaj v sod. Česa je več, vode v sodu ali vina v skodelici?

4. Pa še ena lažja. Imamo 9 enako velikih zlatnikov, od katerih je eden ponarejen, ter klasično visečo mehansko tehtnico. Na razpolago imamo samo dve tehtanji. Kako ugotoviti, kateri od zlatnikov je ponarejen?

[qg]

1. Če je vsota dveh stranic manjša, kot tretja stranica, ne moremo dobiti trikotnika.
...

[Aniviller]

No kot prvo je ze sam clanek malo neumen... ta vprasanja so narejena za testiranje zdrave pameti in ni nujno da imajo vsa en "pravilen" odgovor (se posebej tista ki sprasujejo po oceni necesa za kar nimamo tocnih podatkov).

Odgovor na 1) je seveda hudo napacen. Ce na hitro pogledam bi moral biti pravi odgovor 25%.

2) Rojstva so neodvisna, s tako selekcijo samo spreminjas stevilo rojstev v posamezni druzini (vec poskusov), razmerje je pa se vedno 50/50.

3)
V skodelici je najprej x vina in y vode. Potem iz skodelice vzames toliko, da notri ostane delez y/(x+y). Torej je v skodelici xy/(x+y) vina, v sod pa vrnes zlico, ki vsebuje xy/(x+y) vode, torej sta kolicini enaki.

4) No ta je pa klasicna

[Motore]

Hmm 4. je kao enostavna? Tudi, če vemo ali je ponaredek lažji ali težji (tega ne vemo, ali pač?), še vedno potrebujemo eno tehtanje več. Kdo razloži prosim?

[Aniviller]

Ce ves, da je ponaredek lazji, potem najprej razdelis na 3 kupcke po 3 in primerjas dva izmed njih. Ce sta kupcka razlicne mase, takoj ves kateri kupcek je lazji. Ce sta enake mase, potem tretji kupcek vsebuje ponaredek. Pri drugem tehtanju naredis isto, samo s posameznimi kovanci tistega kupcka.

[Motore]

Aha, torej moraš v vsakem primeru vedet ali je ponaredek lažji ali težji. Potem je vse logično, hvala.

[Popotnik]

2) Rojstva so neodvisna, s tako selekcijo samo spreminjas stevilo rojstev v posamezni druzini (vec poskusov), razmerje je pa se vedno 50/50.

Ni čisto tako. Je verjetnost približno 50/50 na splošni populaciji, a to menda ne vejla za posameznega moškega. Povezava: http://www.sciencedaily.com/releases/20 ... 121835.htm

[Aniviller]

Ok ok govorimo o statistiki in o razumevanju naloge

[Tommo]

No kot prvo je ze sam clanek malo neumen... ta vprasanja so narejena za testiranje zdrave pameti in ni nujno da imajo vsa en "pravilen" odgovor (se posebej tista ki sprasujejo po oceni necesa za kar nimamo tocnih podatkov).

Odgovor na 1) je seveda hudo napacen. Ce na hitro pogledam bi moral biti pravi odgovor 25%.

2) Rojstva so neodvisna, s tako selekcijo samo spreminjas stevilo rojstev v posamezni druzini (vec poskusov), razmerje je pa se vedno 50/50.

3)
V skodelici je najprej x vina in y vode. Potem iz skodelice vzames toliko, da notri ostane delez y/(x+y). Torej je v skodelici xy/(x+y) vina, v sod pa vrnes zlico, ki vsebuje xy/(x+y) vode, torej sta kolicini enaki.

4) No ta je pa klasicna

Za 1) je pravilen odgovor res 25%, čeprav moram priznati, da sem se kar namučil, preden sem prišel do odgovora, in da je to manj, kot bi ocenil na pamet. Zadeve sem se lotil tako, da sem definiral dve nedvisni slučajni spremenljivki X in Y, ki lahko zavzameta vrednosti od 0 do L, kjer je L dolžina palice. Spremenljivki predstavljata točki, kjer palico prelomimo. Iz trikotniške neenakosti in pogoja, da je obseg dobljenega trikotnika enak L, dobimo naslednje zahteve:
x<L/2, pri čemer je x razdalja od 0 do X, in
y>L/2, pri čemer je y razdalja od 0 do Y.

Iz tega potem ni težko ugotoviti, da je P(x<L/2)=0,5 in P(y>L/2)=0,5. Ker sta X in Y med seboj neodvisni, je skupna verjetnost kar produkt obeh, to pa je 25%.

[Aniviller]

Ja to je lep nacin, lahko ga pa izvedes graficno. Ce gledas prostor vseh treh dolzin (x,y,z), se omejis na x+y+z=1 (fiksna dolzina palice), dobis tak posevni enakostranicni trikotnik, ki napenja (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Trikotniske neenakosti so x+y-z>0, x-y+z>0 in -x+y+z>0, kar pomeni da obsekas s temi tremi ravninami skozi izhodisce. Ker je vse lepo simetricno in pod istimi koti, to enostavno razreze enakostranicni trikotnik na 4 polovicne enakostranicne trikotnike, od katerih je eden dovoljen, torej je odgovor 1/4.

Tvoj nacin dela pa v projekciji na xy s cimer se znebis ene spremenljivke, ampak izgubis tudi simetrijo.

[Tommo]

Ja to je lep nacin, lahko ga pa izvedes graficno. Ce gledas prostor vseh treh dolzin (x,y,z), se omejis na x+y+z=1 (fiksna dolzina palice), dobis tak posevni enakostranicni trikotnik, ki napenja (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Trikotniske neenakosti so x+y-z>0, x-y+z>0 in -x+y+z>0, kar pomeni da obsekas s temi tremi ravninami skozi izhodisce. Ker je vse lepo simetricno in pod istimi koti, to enostavno razreze enakostranicni trikotnik na 4 polovicne enakostranicne trikotnike, od katerih je eden dovoljen, torej je odgovor 1/4.

Tvoj nacin dela pa v projekciji na xy s cimer se znebis ene spremenljivke, ampak izgubis tudi simetrijo.

Malo sem še razmišljal o tvoji rešitvi in ugotovil, da sva se oba zmotila. Jaz sem pozabil upoštevati, da mora veljati še dodaten pogoj y-x<L/2, saj moj izračun dopušča tudi kombinacije X in Y, ki ne tvorijo trikotnika (recimo x = L/10, y=L*9/10). Ko upoštevam še ta dodatni pogoj dobim še za pol manjši rezultat, torej 12,5%.

Pri tvojem načinu pa je po mojem težava v tem, da izrežeš neke sorte krogelne izseke, ne pa trikotnikov, zato je obsekan delež manjši.

[Aniviller]

Niso krogelni izseki ampak lepo trikotniki (vse secne ploskve so ravnine, ne mores dobit okroglih stvari). In ce obsekas na vse tri nacine (x+y-z>0, x-y+z>0, -x+y+z>0), si vse stranice uposteval enakovredno. Pri mojem nacinu je to tole:

[Tommo]

Niso krogelni izseki ampak lepo trikotniki (vse secne ploskve so ravnine, ne mores dobit okroglih stvari). In ce obsekas na vse tri nacine (x+y-z>0, x-y+z>0, -x+y+z>0), si vse stranice uposteval enakovredno. Pri mojem nacinu je to tole:

Ne vem, nekaj mi ne gre skupaj. Če trikotniške neenakosti zapišeš malo drugače, dobiš z<1/2, x<1/2 in y<1/2. Če greš s temi pogoji rezat osnovni trikotnik x+y+z=1, hitro ugotoviš, da vsak pogoj ravno razpolovi njegovo ploščino, in je končni rezultat torej 1/8 in ne 1/4.

Imaš pa prav glede krogelnih izsekov, ki jih ni, in ne vem, od kod sem jih privlekel.

[Aniviller]

Napaka je v tem, da mislis da vsak rez razpolovi ploscino, kar ni res (res bi bilo, ce bi imel kvadrat, pa imas trikotnik). Trikotnik, ki ga rezes skozi dve razpolovisci stranic, ne izgubi polovice ploscine ampak manjsi del. V tvoji sliki:

Seveda slika ni presenetljiva, saj gre za projekcijo 3D slike, ki sem jo prej pokazal. Ce rises ali racunas je ta 2D boljsa. Za na pamet je pa vsaj meni 3D vsec zaradi simetrije.

[Tommo]

Napaka je v tem, da mislis da vsak rez razpolovi ploscino, kar ni res (res bi bilo, ce bi imel kvadrat, pa imas trikotnik). Trikotnik, ki ga rezes skozi dve razpolovisci stranic, ne izgubi polovice ploscine ampak manjsi del. V tvoji sliki:

obsekanec2d.png

Seveda slika ni presenetljiva, saj gre za projekcijo 3D slike, ki sem jo prej pokazal. Ce rises ali racunas je ta 2D boljsa. Za na pamet je pa vsaj meni 3D vsec zaradi simetrije.

Res je tako, kot si napisal, in v tvoji razlagi ne najdem nobene napake. Zato sem jo poiskusil najti v moji, vendar mi ni najbolj uspelo. Glede na napisano:

Za 1) je pravilen odgovor res 25%, čeprav moram priznati, da sem se kar namučil, preden sem prišel do odgovora, in da je to manj, kot bi ocenil na pamet. Zadeve sem se lotil tako, da sem definiral dve nedvisni slučajni spremenljivki X in Y, ki lahko zavzameta vrednosti od 0 do L, kjer je L dolžina palice. Spremenljivki predstavljata točki, kjer palico prelomimo. Iz trikotniške neenakosti in pogoja, da je obseg dobljenega trikotnika enak L, dobimo naslednje zahteve:
x<L/2, pri čemer je x razdalja od 0 do X, in
y>L/2, pri čemer je y razdalja od 0 do Y.

Iz tega potem ni težko ugotoviti, da je P(x<L/2)=0,5 in P(y>L/2)=0,5. Ker sta X in Y med seboj neodvisni, je skupna verjetnost kar produkt obeh, to pa je 25%.

in

Malo sem še razmišljal o tvoji rešitvi in ugotovil, da sva se oba zmotila. Jaz sem pozabil upoštevati, da mora veljati še dodaten pogoj y-x<L/2, saj moj izračun dopušča tudi kombinacije X in Y, ki ne tvorijo trikotnika (recimo x = L/10, y=L*9/10). Ko upoštevam še ta dodatni pogoj dobim še za pol manjši rezultat, torej 12,5%.

Pri tvojem načinu pa je po mojem težava v tem, da izrežeš neke sorte krogelne izseke, ne pa trikotnikov, zato je obsekan delež manjši.

ne vidim, kaj bi lahko bilo narobe?