MNOŽICE,RELACIJE_fmf,pomoč pri nalogah

[Vesnaak]

Zdravo.
Potrebujem pomoč pri nekaterih nalogah v priloženih datotekah...

pri relacijah se ustavi pri 5.,6. in 7. Tako je,da imam vse napol rešene oz. zapišem vse predpostavke,malo razvijem,potem se pa ustavi...

recimo pri peti vemo,da je r tranzitivna, in po predpostavki implikacije antisimetrična...kar mi potem ne gre naprej je to,da ne vem kaj oz.kako zapisati relacijo R2 (R na kvadrat)...
Šesto lahko rešim samo v primeru,da začnem pri rešitvi in dokažem začetek :S
Pri sedmi si pa ne znam najbolje razložiti naloge....

Pri nalogah z množicami pa bi potrebovala pomoč pri zadnjih dveh nalogah.

Hvala

[anavotm]

Recimo 5 iz relacij.
Vemo da je \(R\) antisimetrična natanko tedaj ko velja \(R\cap R^{-1}\subseteq E_A\). Če greš preverit ta pogoj za\(R^2\) in pri tem upoštevaš, da zaradi tranzitivnosti velja da je \(R^2 \subseteq R\):\(R^2 \cap (R^2)^{-1} = R^2 \cap R^{-2} \subseteq R \cap R^{-1} \subseteq E_A\).
Sprašujejo tudi če velja obrat. Tu je malo več dela. Torej če je \(R^2\) antisimetrična je antisimetrična tudi \(R\). Naj bo torej \(R^2\) antisimetrična in lahko predpostavimo da \(R\) NI antisimetrična. Tedaj torej po definiciji antisimetričnosti velja: \(\exists x, y \in A : xRy \ \Lambda\ yRx \ \Lambda \ x \neq y\). Zaradi prvega pogoja, da je \(R\) tranzitivna relacija, vemo, da je \(xRx\ \Lambda \ yRy\). Zato velja \(xRx\ \Lambda\ xRy \Rightarrow xR^2y\) in po drugi strani \(yRy\ \Lambda\ yRx \Rightarrow yR^2x\). Ker pa je \(R^2\) po predpostavki antisimetrična dobimo \(x=y\). To pa je protislovje z začetno predpostavko da \(R\) NI antisimetrična, zato je \(R\) antisimetrična.

[Vesnaak]

Hvala sm jo ravno včeri pogruntala,ampak sm vmes pozabla kej napisat,tko da hvala