VERJETNOST - PROSIM ZA POMOČ!

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
uporabnik1
Prispevkov: 2
Pridružen: 16.1.2013 12:21

VERJETNOST - PROSIM ZA POMOČ!

Odgovor Napisal/-a uporabnik1 »

Pozdravljeni! Velike težave imam z razrešitvijo sledečih problemov, preprosto ne vem kako se jih lotiti. Sicer se nanašajo na poglavje Verjetnost. Hvaležen bi bil za kakršnokoli pomoč:

1. Imamo poljubno daljico, na njej poljubno izberemo 2 točki. Na teh točkah jo razrežemo. Kakšna je verjetnost, da lahko iz teh treh nastalih daljic naredimo trikotnik.
2. Imamo poljubno daljico, na njej poljubno izberemo 2 točki. Kakšna je verjetnost, da je razdalja manjša od R (R=poljubna majhna razdalja)
3. Imamo žirijo iz 3 sodnikov. Ocenjujejo z dvema ocenama: dobro (verjetnost=p) in slabo (verjetnost=1-p). Predpostavljamo, da so sodniki dobri (p>0,5). Kakšna je verjetnost, da vsi sodniki dajo dobro oceno?
4. Imamo žirijo iz 3 sodnikov. Ocenjujejo z dvema ocenama: dobro (verjetnost=p) in slabo (verjetnost=1-p). Predpostavljamo, da sta 2 sodnika dobra (p>0,5), tretji pa meče kovanec (glava=dobro, cifra=slabo). Kakšna je verjetnost, da bo ocena dobra?
Pri kateri od nalog (3. in 4.) je verjetnost višja?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: VERJETNOST - PROSIM ZA POMOČ!

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

1. Resitev najdes v diskusiji
viewtopic.php?f=23&t=5008
2. Imas enakomerno porazdelitev po x in y. Zdaj moras samo v porazdelitvi zamenjat spremenljivke tako, da bo ena izmed njih z=x-y (druga lahko ostane karkoli, recimo y). Tukaj moras pazit na meje definicijskega obmocja. Potem pri fiksnem z integriras porazdelitev po preostali spremenljivki in kar ostane, je porazdelitev po z. Potem samo se ugotovis, da gre za absolutno razdaljo in lahko verjetnost pri negativnih razdaljas tudi prispises pozitivnim. Verjetnost, da je ta razdalja manjsa od neke razdalje R, je torej integral dobljene porazdelitve od -R do R.
3. p^3
4. p^2*0.5
Ker so sodniki dobri, je 3) bolje od 4).

uporabnik1
Prispevkov: 2
Pridružen: 16.1.2013 12:21

Re: VERJETNOST - PROSIM ZA POMOČ!

Odgovor Napisal/-a uporabnik1 »

Najlepša hvala za pomoč! Druga točka je sicer nekoliko nerazumljiva zame, saj smo integrale obravnavali že lep čas nazaj. Sploh pa moramo rešitev izraziti zgolj z verjetnostnimi računi, če se lahko tako izrazim, ne pa z integrali. Res najlepša hvala za hiter odgovor, zelo ste mi osvetlili zadevo. Sedaj se samo sprašujem, kako sem lahko tako zakompliciral :)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: VERJETNOST - PROSIM ZA POMOČ!

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No, na verjetnostne porazdelitve lahko vedno gledas kot na integrale (posebej primerno, ker menjava spremeljivke v integralih ravno pravilno transformira verjetnostno porazdelitev, integralske meje pa tudi ravno sledijo definicijskemu obmocju.

Sicer pa res nalogo lahko razclenis rocno. Prvo tocko vzames za referenco... ce ta tocka lezi med
R in 1-R (to se zgodi z verjetnostjo 1-2R), potem je na obeh straneh tocke dovolj prostora za razdalje med 0 do R. V tem primeru je verjetnost 2R, da druga tocka pade ravno v to obmocje. Torej, ta prispevek k verjetnosti je
(1-2R)*2R (seveda sem tako normiral, da je dolzina palice 1).
ce je tocka blizje robu, potem je bolj komplicirano... tudi to se sicer da izracunat ampak glede na to, da so rekli, da je R majhen, lahko najbrz reces, da je majhna verjetnost, da ti prva tocka pade preblizu roba, in zgornji rezultat vzames do linearnega reda (2R). Za majhen R res lahko kvadratni clen stran vrzes.

V primeru tocke na robu, je dovoljen interval druge tocke odvisen od polozaja prve tocke. Ce je polozaj prve tocke x<R, je dovoljen
interval druge tocke R+x (na levi ne more it dlje kot za x stran, ker je tam rob). Torej imas za vsak x med 0 in R drugacno verjetnost, kar sestejes z integralom:
\(\int_0^R (R+x)dx=\frac{3}{2}R^2\)
Popolnoma enak prispevek imas tudi na desni strani palice. Skupaj je verjetnost torej
\((1-2R)2R+3R^2=2R-R^2\)
To je torej tocen rezultat.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: VERJETNOST - PROSIM ZA POMOČ!

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Gre tudi graficno. Ce naneses x in y (polozaja tock, oboje med 0 in 1 v enotski kvadrat, je obmocje |x-y|<R ozek pas okrog diagonale, ker pa si omejen na enotski kvadrat, je lik malo cudne oblike. Ploscino lika lahko izracunas z osnovnosolsko geometrijo. Recimo prilozena skica kaze dovoljeno obmocje za R=0.1. Ploscino dobis z odstevanjem ploscin dveh pravokotnih trikotnikov s kateto 1-R od celega kvadrata:
\(1-2\cdot \frac{1}{2}(1-R)^2=2R-R^2\)
Priponke
stripverjetnost.png
stripverjetnost.png (10.55 KiB) Pogledano 4840 krat

sanej
Prispevkov: 71
Pridružen: 25.8.2010 18:00

Re: VERJETNOST - PROSIM ZA POMOČ!

Odgovor Napisal/-a sanej »

Pozdravljeni!

Imam težave pri sledeči nalogi iz verjetnostne porazdelitve in bi prosil za pomoč.

Notranja stena votle krogle je pemazana s tanko plastjo snovi, ki seva delce alfa. zanima nas porazdelitev delcev, glede na dolžino njihove poti po notranjosti krogle, pri čemer je doseg delcev večji od notranjega premera krogle.



če v krogelnih kordinatah pogledam presek pri nekem \(d\phi\) , potem iz točke potegnem tetive ki so enakomerno porazdejeno po kotu \(\theta\)

izrazim dolžino \(s=2R\cos(\theta)\) potem pa uporabim \(\frac{dW}{ds} = \frac{dW}{d\theta} \frac{d\theta}{ds}\) kjer kvocient dW/ds predstavlja verjetnostno porazdelitev.

dobim rezultat \(2/\pi\sqrt{ (2R)^2 - s^2 }\). Vendar to je sedaj samo za rezino \(d\phi\)

Ali je upravičeno če sedaj to pointegriram po fiju od nič do pi, da dobim kroglo. Potem bi imel porazdelitev po krogli iz točke in nazadjne še pomnožim z površino krogle 4PiR^2 in imam za vse točke ki so namazane na krogli ??

Hvala za odgovore

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: VERJETNOST - PROSIM ZA POMOČ!

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No, sklepanje v prerezu je v redu (izrazava dolzine). Nisi pa uposteval, da imas na zacetku krogelno simetricno porazdelitev. Izhajas namrec iz porazdelitve (v integralskem zapisu)
\(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} \sin\theta \,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi\)
To je ze normirano (sevas v polkroglo usmerjeno v notrajnost, ki ima ploscino 2pi).
Krogelnost torej prispeva, da po theti niso tetive porazdeljene enakomerno, ampak so tiste v smeri tocno naprej bolj redko zastopane kot tiste, ki sevajo tangentno (theta=pi/2). Po fi se vedno lahko takoj integriras, potem pa zamenjas porazdelitev po theti s porazdelitvijo po s:
\(s=2R\cos\theta\)
\({\rm d}s=-2R\sin\theta{\,\rm d}\theta\)
Torej,
\(\int_0^{\pi/2} \sin\theta \,{\rm d}\theta\)
\(=-\frac{1}{2R}\int_{2R}^0 \,{\rm d}s=\frac{1}{2R}\int_0^{2R}{\rm d}s\)
Torej, porazdelitev po s je kar enakomerna (gostota porazdelitve enaka 1/2R, da je normirano).

Upam da te ne moti integralski zapis verjetnostnih porazdelitev - to je najlazji nacin za obdelavo verjetnosti: meje integralov lepo shranjujejo definicijsko obmocje porazdelitve, menjava spremenljivk v integralu pa je enostaven nacin za razumevanje menjave spremenljivk v porazdelitvah, kar je posebej koristno v primeru vecdimenzionalnih porazdelitev. Odvecne spremenljivke, po katerih te porazdelitev ne zanima, pa enostavno pointegriras.

sanej
Prispevkov: 71
Pridružen: 25.8.2010 18:00

Re: VERJETNOST - PROSIM ZA POMOČ!

Odgovor Napisal/-a sanej »

Zopet se mi je zataknilo.

Imamo krošnjo, ki jo predstavimo z kroglo, deblo pa z daljico. V tej krogli so listi enakomerno porazdeljeni, potem se pa vse to usuje iz drevesa (v brezveterju)
in bi radi vedeli kakšna bo masna porazdelitev pod drevesom v odvisnosti od x npr.

ker je simetrično sem reševal za polovico krogle, reševal sem na dva načina, nikjer uspešno,

1 za polkroglo \(\frac{3}{2\pi R^3} \int\limits_0^{2\pi}\mathrm{d} \phi \int_0^R r^2\mathrm{d} r \int_o^{\pi /2} \sin(\theta) \mathrm{d} \theta\)
tako naj bi zgledala porazdelitev po kotu ( normirana)

potem sem rekel da je masa na x osi projekcija radija ki teče po gornjih parametrih \(x = r \sin(\theta)\) potem odvajam x po kotu in dobim porazdelitev po sin in kosin kar je čudno

Ali je to zaradi krogelne simetrije, ki je bila opisana v zgornjem postu ?


2 probal sem z uvedbo valjnih kordinat

in zapisal \(z = \sqrt{ R^2 - ( x^2 +y^2)}\) potem pa integral zapišem kot

\(\frac{3}{2\pi R^3} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi \int_0^R r \mathrm{d}r \int_0^{\sqrt{R^2 -r^2}} \mathrm {d} z\)

po fiju in zju integriram, nove spremenljivke nisem upeljal ker je to že kar r pomoje.

torej če prav razumem porazdelitve z integrali bi morali biti porazdelitev v tem primeru \(\frac{3}{R^3} \int_0^R r\sqrt{R^2-r^2} \mathrm{d} r\)
mislim tisto kar je pod integralom.

Ampak to je narobe ker na sredi ob deblu bo največ listja potem pa vedno manj, koren pa bo naredil da od debla ven raste količina listja ?? kje ga lomim

Hvala za odgovore

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: VERJETNOST - PROSIM ZA POMOČ!

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

V redu je, samo narobe si interpretiral rezultat.

V prvem primeru si popolnoma prav zacel. Zdaj je pa odvisno, kaj isces. Recimo ce isces porazdelitev po povrsini: projecirano po z, ampak odvisno od x in y (ali rho,fi v polarnih koordinatah, ker je simetricno), potem moras pac zamenjat spremenljivke fi,theta,r v spremenljivke fi,z,rho po pravilih za integralsko menjavo spremenljivk, in dobis porazdelitev. To je v resnici isto kot bi ze od vsega zacetka imel cilindricne koordinate. Veljajo namrec zveze
\(z=r\cos\theta\)
\(\rho=r\sin\theta\)
od koder dobis Jakobijana \(|J|=r^{-1}\) in integral
\(\frac{3}{2\pi R^3} \int_0^{2\pi} {\rm d}\phi\int_0^R \rho{\,\rm d}\rho \int_0^{\sqrt{R^2-\rho^2}}{\,\rm d} z\)
in kot si ugotovil, dobis ravno porazdelitev ki si jo ti navedel. Moras si jo pa prav razlagat! To je porazdelitev po radiju - in cetudi bo ploskovna gostota ob deblu najvecja, je tam obseg kroga pri konstantnem rho najmanjsi, in zato pri izbrani razdalji od drevesa dobis zelo malo listja. To kar ti stoji v integralu ni ploskovna gostota listja - ta bi stala zraven dx*dy, ne zraven d(rho). Transformacija med tema dvema kolicinama je spet ravno prehod iz kartezicnih koordinat v polarne, tako da ves, da en "r" v tvojem rezultatu pride od Jakobijana, preostali koren je pa ploskovna gostota.

To bi dobil direktno, ce bi na zacetku transformiral na (x,y,z) namesto na (fi,rho,z). Ampak to se da popravit. Zgornji rezultat integriras po z, a ne po fi:
\(\frac{3}{2\pi R^3} \int_0^{2\pi} {\rm d}\phi\int_0^R\sqrt{R^2-\rho^2} \rho{\,\rm d}\rho\)
Zdaj gres lahko mirno na \(\rho{\,\rm d}\rho{\,\rm d}\phi={\rm d}x\,{\rm d}y\) z ustrezno menjavo mej, in ostane
\(\frac{3}{2\pi R^3} \int_{-R}^R\int_{-\sqrt{R^2-y^2}}^{\sqrt{R^2-y^2}}\sqrt{R^2-x^2-y^2}{\rm d}x\,{\rm d}y\)

To sicer ni ravno lepo (ker so meje grde) ampak ti pa pove tocno to kar isces.

sanej
Prispevkov: 71
Pridružen: 25.8.2010 18:00

Re: VERJETNOST - PROSIM ZA POMOČ!

Odgovor Napisal/-a sanej »

imam problem še pri sledeči nalogi.

A in B se dogovorita za sestanek med 8:00 in 9:00 ob tem se strinjata, da nobeden od njiju ne bo čakal drugega dlje kot 15 minut. kakšna je vrjetnost, da se bosta srečala.


Razmišlal sem takole. Pri pogoju če pride A je ugoden izid za srečanje, če pride B v roku 15 minut. Verjetnost da pride A prvo minuto je 1/60 in da pride B v naslednjih 15 minutah je 15/60. Do 45 minute je to 2*(45*(1/60 * 15/60)) dvakrat ker lahko pa B pride prvi potem od 45 do polne ure pa se drugemu zmanjšuje verjetnost vsako minuto za 1 torej + 2*(1/60 * 14/60) + 2*(1/60 * 13/60) + ..... + 2*(1/60 * 1/60).

Nekako nisem upošteval nobenih kombinacij ker se mi zdi nepotrebno, ali se motim ? Drugo vprašanje pa je če bi to moral slučajno delati po kakšni binomski formuli glede na to da sta dva izida možna ker takole po pameti ne vem če sem vse upošteval?

Je kašen univerzalen pristop da veš katero pot izbrati ? Ker ko ne vem kaj izbrati se vedno takole po pameti nekaj trudim.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: VERJETNOST - PROSIM ZA POMOČ!

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Naloga je povsem identicna nalogi rahlo visje zgoraj (tista s sliko). V resnici isces ugodne izide pod pogojem |x-y|<15minut pri 0<x,y<60minut. Ce normiras na enotski interval, R=15/60=0.25, lahko uporabis obstojeco formulo
P=2*R-R^2=7/16

Odgovori