homomorfizem grup

[algebra1]

ali mi lahko kdo pomaga rešiti nalogo:
Poišči vse homomorfizme iz S3 v D 2*4.
Hvala za pomoč

[algebra1]

Ali obstajajo samo trivialni homomorfizem?Prosim pomagajte mi.
kam slika (12)iz S3 v D8?
Hvala

[Aniviller]

Hm... lahko z besedami opises katera prostora mislis?

[algebra1]

Navodilo naloge je: Poišči vse homomorfizme iz simetrične grupe S3 reda 6 v diedrsko grupo D 2* 4 reda 8.

[Aniviller]

Huh, upam da je na forumu kak ekspert za diskretne grupe, jaz imam na tem podrocju malo pomanjkljivo teoreticno znanje.

[Jurij]

Iščemo homomorfizme \(f:S_3\to D_4\). Simetrično grupo \(S_3\) lahko generiramo z dvema elementoma, \(S_3=\langle (12),(123))\), zato je dovolj, da poznamo \(f((12))\) in \(f((123))\). Ker je \((123)\) reda 3 in \(|D_4|=8\), mora biti \(f((123))\) reda 1, torej je \(f((123))=1\) enota v \(D_4\). Ta je podana z generatorjema \(a\) in \(b\), ki zadoščata relacijam
\(a^4=1,\ b^2=1,\ ab=ba^{-1}\),
zato je vsak njen element oblike \(a^ib^j\), \(i\in \{0,1,2,3\}\), \(j\in \{0,1\}\). Ker je \((12)\) reda 2, je njegova slika \(f((12))=a^ib^j\) reda 1 ali 2. Če je \(j=0\), je \(a^{2i}=1\) in zato \(i\in \{0,2\}\); če pa je \(j=1\), je \(a^iba^ib=b^2=1\) ne glede na \(i\). Zato imamo za sliko elementa \((12)\) natanko \(2+4=6\) možnosti, vsaka od njih nam določa homomorfizem.

[fmf]

Za malo pomoči bi prosil kakšnega eksperta algebre:

Naj bo n naravno število in m liho naravno število. Pokaži, da ne obstaja netrivialni homomorfizem grup \(S_n \rightarrow \mathbb{Z}_m\).

[Zajc]

Naj bo \(f:S_n\to\mathbb{Z}_m\) homomorfizem. Za poljubno transpozicijo \(\pi\) je \(2f(\pi)=f(\pi^2)=f(id)=0\). Ker sta \(2\) in moč grupe \(\mathbb{Z}_m\) tuji si števili, sledi \(f(\pi)=0\). Torej \(f\) uniči vse transpozicije. Ker je \(S_n\) generirana s transpozicijami, je potem \(f=0\).

[fmf]

Najlepša hvala za odgovor. Naslednjega sklepa ne razumem najbolje: Ker sta 2 in moč grupe Zm tuji si števili, sledi f(π)=0. Je tukaj mišljeno, da 2 ni enako nič po modulu m? Pa še nekaj: f(id) = 0 velja zato, ker homomorfizem nevtralni element slika v nevtralnega?