pozdravljeni!
ali mi lahko kdo pomaga pri naslednjih nalogah:
1.Premica gre skozi točko P(0,2,-1)in je pravokotna na ravnino T:x+y-z=3. Enačba premice je:X-1=Y-3=-Z-2 (ali je to pravilno?)
2.Koliko je linearnih preslikav iz Rˇ2 [x] v R^2, ki preslikajo x v (0,1), 1-x+x^2 v (1,1) in 1+x-x^2 v (1,-1)
3.Na vektorske prostoru V=R^2 definiramo skalarni produkt ((a1,a2),(b1,b2))=a1b1-a1b2-a2b1+2a2b2. Potem predpis F(x,y)= x-y določa linearni funkcional F na prostoru V, katerega Rieszov vektor je enak
4.Endomorfizem A:Rˇ2[x] slika v Rˇ2[x] deluje po predpisu A:p v p'-2p za vsak polinom p element Rˇ2[x].Potem je njegov karakteristični polinom?
Hvala za vso pomoč!!!
algebra od a do ž
Re: algebra od a do ž
1) To zlahka preveris z vstavljanjem tocke in preverjanjem normale. V redu je.
2) Ena sama. Navedeno imas preslikavo treh linearno neodvisnih vektorjev iz R^2[x], kar napenja celo bazo.
3)
Vstavi b1=x, b2=y in poglej kaksni morajo bit a-ji, da dobis x-y.
4) Poisci lastne vrednosti preslikave.
2) Ena sama. Navedeno imas preslikavo treh linearno neodvisnih vektorjev iz R^2[x], kar napenja celo bazo.
3)
Vstavi b1=x, b2=y in poglej kaksni morajo bit a-ji, da dobis x-y.
4) Poisci lastne vrednosti preslikave.
Re: algebra od a do ž
kako poiščem lastne vrednosti?
hvala!
hvala!
Re: algebra od a do ž
Lastna vrednost in lastni vektor sta par, pri katerem preslikava lastni vektor samo pomnozi z lastno vrednostjo. Za polinome to pomeni mnozenje vseh koeficientov z isto konstanto.
\(p\mapsto -2p+p'\)
Odvajanje zniza stopnjo, torej bo k vodilnemu clenu prispeval le prvi clen, torej je edina mozna lastna vrednost tega operatorja -2: za vodilni clen namrec vemo s cim se mnozi, in ce najdes pravi lastni vektor se bodo morali ostali koeficienti prav tako z -2. Torej, ker je prostor 3-dimenzionalen in je jedro prazno (noben nenicelni polinom se ne slika v 0), imas 3-kratno lastno vrednost -2, torej je karakteristicni polinom
\((\lambda+2)^3=0\)
Seveda to se ne pomeni, da imas 3 lastne vektorje (geometrijska in algebraicna veckratnost lastnih vrednosti nista nujno enaki - samo za normalne matrike je to garantirano - v praksi so to ponavadi simetricni/hermitski operatorji).
Po drugi strani lahko tudi napises matriko preslikave, ce izberes neko bazo. Recimo p=ax^2+bx+c (izbral sem bazo x^2,x,1). Potem preslikava slika to v nov polinom
(-2a)x^2+(2a-2b)x+(b-2c)
od koder lahko reces, da si deloval na vektor (a,b,c) z matriko
\(\begin{bmatrix}-2&0&0\\ 2&-2&0\\0 &1 & -2\end{bmatrix}\)
Ta matrika je trikotna (je ze v Jordanovi formi), tako da lahko po diagonali preberes lastne vrednosti.
\(p\mapsto -2p+p'\)
Odvajanje zniza stopnjo, torej bo k vodilnemu clenu prispeval le prvi clen, torej je edina mozna lastna vrednost tega operatorja -2: za vodilni clen namrec vemo s cim se mnozi, in ce najdes pravi lastni vektor se bodo morali ostali koeficienti prav tako z -2. Torej, ker je prostor 3-dimenzionalen in je jedro prazno (noben nenicelni polinom se ne slika v 0), imas 3-kratno lastno vrednost -2, torej je karakteristicni polinom
\((\lambda+2)^3=0\)
Seveda to se ne pomeni, da imas 3 lastne vektorje (geometrijska in algebraicna veckratnost lastnih vrednosti nista nujno enaki - samo za normalne matrike je to garantirano - v praksi so to ponavadi simetricni/hermitski operatorji).
Po drugi strani lahko tudi napises matriko preslikave, ce izberes neko bazo. Recimo p=ax^2+bx+c (izbral sem bazo x^2,x,1). Potem preslikava slika to v nov polinom
(-2a)x^2+(2a-2b)x+(b-2c)
od koder lahko reces, da si deloval na vektor (a,b,c) z matriko
\(\begin{bmatrix}-2&0&0\\ 2&-2&0\\0 &1 & -2\end{bmatrix}\)
Ta matrika je trikotna (je ze v Jordanovi formi), tako da lahko po diagonali preberes lastne vrednosti.
Re: algebra od a do ž
Imam težave z naslednjimi nalogami:
1.Na vektorskem prostoru Rˇ1[x] je skalarni produkt definiran s predpisom <p,q>= integral od 0 do 2 (p(x)q(x) dx). Rieszov vektor linearnega funkcionala f, ki učinkuje po predpisu f(p)=p(5)je enak
2.Linearna preslikava A:R ^3X3 V Rˇ3[x] preslika neke tri vektorje iz R^3X3 v linearno neodvisne vektorje. Kaj smemo sklepati :
a)rang lin.p. A je najmanj 3
b)lin. p. je surjektivna
c)lin.p. A pripadav nekih urejenih bazah kvadratna matrika
d)lin. p. je obrnljiva
e)lin. p. je injektivna
(ali je pravilen odgovor e?)
3.Naj bo A endomorfizem k.v.p. v katerem od naslednjih primerov smemo sklepati, da je A obrnljiv:
a)sled endo. A je 2012
b)determinanta endo. A je 2012
c)rang endo. A je 2012
d)razsežnost jedra endo. A je 2012
e)lastna vrednost endo. A je 2012
(ali je pravilen odgovor b?)
4. V vektorskem prostoru R^4x4 si oglejte podprostor U={A element R ^4X4|A^t= -A} razsežnost podprostora je?
hvala za vso pomoč in odgovore!
1.Na vektorskem prostoru Rˇ1[x] je skalarni produkt definiran s predpisom <p,q>= integral od 0 do 2 (p(x)q(x) dx). Rieszov vektor linearnega funkcionala f, ki učinkuje po predpisu f(p)=p(5)je enak
2.Linearna preslikava A:R ^3X3 V Rˇ3[x] preslika neke tri vektorje iz R^3X3 v linearno neodvisne vektorje. Kaj smemo sklepati :
a)rang lin.p. A je najmanj 3
b)lin. p. je surjektivna
c)lin.p. A pripadav nekih urejenih bazah kvadratna matrika
d)lin. p. je obrnljiva
e)lin. p. je injektivna
(ali je pravilen odgovor e?)
3.Naj bo A endomorfizem k.v.p. v katerem od naslednjih primerov smemo sklepati, da je A obrnljiv:
a)sled endo. A je 2012
b)determinanta endo. A je 2012
c)rang endo. A je 2012
d)razsežnost jedra endo. A je 2012
e)lastna vrednost endo. A je 2012
(ali je pravilen odgovor b?)
4. V vektorskem prostoru R^4x4 si oglejte podprostor U={A element R ^4X4|A^t= -A} razsežnost podprostora je?
hvala za vso pomoč in odgovore!
Re: algebra od a do ž
1. Lahko gres z nastavkom.
p=ax+b
q=cx+d
\(\langle p,q\rangle = p(5)=5a+b\)
\(\int_0^2 (ax+b)(cx+d){\,\rm d}x=\frac{8}{3}ac+2(bc+ad)+2bd=5a+b\)
Zdaj dolocas c in d, da bo to drzalo.
2. A prvi prostor so 3x3 matrike? V tem primeru je prvi prostor dimenzije 9, drugi dimenzije 4. In slikas v 3 razlicne vektorje, tako da ni ne surjektivna ne injektivna (ne porabis ne celega levega prostora, ne celega desnega). Je pa ranga 3. Tako da (a).
3.
Ja, nenicelna determinanta pomeni da je obrnljivo.
4.
To so enostavno vse antisimetricne matrike. Diagonala mora bit 0, nad diagonalo pa ravno z minusom tisto kot pod diagonalo. Ce si narises matriko (ali kar izracunas koliko naddiagonalnih elementov ima 4x4 matrika), dobis za odgovor 6.
p=ax+b
q=cx+d
\(\langle p,q\rangle = p(5)=5a+b\)
\(\int_0^2 (ax+b)(cx+d){\,\rm d}x=\frac{8}{3}ac+2(bc+ad)+2bd=5a+b\)
Zdaj dolocas c in d, da bo to drzalo.
2. A prvi prostor so 3x3 matrike? V tem primeru je prvi prostor dimenzije 9, drugi dimenzije 4. In slikas v 3 razlicne vektorje, tako da ni ne surjektivna ne injektivna (ne porabis ne celega levega prostora, ne celega desnega). Je pa ranga 3. Tako da (a).
3.
Ja, nenicelna determinanta pomeni da je obrnljivo.
4.
To so enostavno vse antisimetricne matrike. Diagonala mora bit 0, nad diagonalo pa ravno z minusom tisto kot pod diagonalo. Ce si narises matriko (ali kar izracunas koliko naddiagonalnih elementov ima 4x4 matrika), dobis za odgovor 6.
Re: algebra od a do ž
Ali mi lahko pomagate
V vektorskem prostoru R^4x4 si oglejte podprostor U={A element R ^4X4|A^t - (-A) je zgornje trikotna} razsežnost podprostora je? ali je pravilen odgovor 10
hvala
V vektorskem prostoru R^4x4 si oglejte podprostor U={A element R ^4X4|A^t - (-A) je zgornje trikotna} razsežnost podprostora je? ali je pravilen odgovor 10
hvala
Re: algebra od a do ž
A prav razumem, da je to kar
\(A^T+A\)
Ce je to zgornje trikotno, potem je kar diagonalno, saj je simetricno. A ima torej poljubno diagonalo (4 komponente), plus poljubno kolicino antisimetricnega dela (ker ta po simetrizaciji izgine). To je 4+6=10.
\(A^T+A\)
Ce je to zgornje trikotno, potem je kar diagonalno, saj je simetricno. A ima torej poljubno diagonalo (4 komponente), plus poljubno kolicino antisimetricnega dela (ker ta po simetrizaciji izgine). To je 4+6=10.