lastne vrednosti, lastni podprostori

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
algebra1
Prispevkov: 54
Pridružen: 25.12.2007 10:12
Kontakt:

lastne vrednosti, lastni podprostori

Odgovor Napisal/-a algebra1 » 8.3.2013 11:12

Ali mi lahko kdo pomaga?
za realno matriko A = 2 -2 1
1 -1 1
0 0 1
določite a)lastne vrednosti (jaz sem dobila (1-x)(x-1)^2)
b)njene lastne podprostore : za x=1 sem dobila matriko |1 -2 1| kako dalje?ker sem dobila tri iste lastne vrednosti ali to pomeni da ima samo en lasten prostor?
Hvala!

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: lastne vrednosti, lastni podprostori

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 8.3.2013 14:26

Niso 3 enake, vsaj ce imas matriko prav napisano. Dobis:
\(\begin{vmatrix}2-\lambda & -2 &1 \\ 1&-1-\lambda &1\\0&0&1-\lambda\end{vmatrix}\)
\(=(2-\lambda)(-1-\lambda)(1-\lambda)+2(1-\lambda)=\)
\(=(1-\lambda)(2-2+\lambda-2\lambda+\lambda^2)=(1-\lambda)^2\lambda\)
Dve lastni vrednosti sta 1, ostala je 0.

Sicer je pa tako, da za veckratno lastno vrednost ni nujno, da imas lastnih vektorjev enako stevilo kot lastnih vrednosti - lahko se zgodi, da matrika ni diagonalizabilna in imas geometrijsko veckratnost manjso od algebraicne.

Sicer pa ne pozabit, da ko isces lastne vektorje, imas se vedno 3 enacbe (res je, da niso vec neodvisne - najmanj ena enacba je odvec).

algebra1
Prispevkov: 54
Pridružen: 25.12.2007 10:12
Kontakt:

Re: lastne vrednosti, lastni podprostori

Odgovor Napisal/-a algebra1 » 9.3.2013 20:21

Zdaj razumem, hvala.
Vendar me zanima kako je potem v tej nalogi s lastnimi podprostori?
Ali se da to matriko diagonalizirat?
hvala za odgovore!

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: lastne vrednosti, lastni podprostori

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 9.3.2013 20:51

Lastna vrednost 0:
2x-2y+z=0
x-y+z=0
z=0
Ker so enacbe linearno odvisne, je
Zadnja enacba fiksira z, druga pa x=y, torej je lastni vektor (1,1,0).
Lastna vrednost 1:
x-2y+z=0
Izberes lahko, recimo
z=2y-x
Od koder lahko z razlicnimi izbirami y in x izluscis 2 linearno neodvisna lastna vektorja. Recimo (0,1,2) in (1,0,-1). Lahko ju tudi ortogonaliziras ce hoces.

algebra1
Prispevkov: 54
Pridružen: 25.12.2007 10:12
Kontakt:

Re: lastne vrednosti, lastni podprostori

Odgovor Napisal/-a algebra1 » 10.3.2013 12:57

Ali sem pravilno sklepala, da je lastni podprostor z lastno vrednostjo (x-1)^3 v matriki 010
-120
111
dobimo enačbe z=0, -x+y=0,x+y=0?Kako naprej?Jaz sem dobila lastne vektorje (1,1,0),(1,-1,0) in (-1,1,0). Ali so pravilni?
hvala!

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: lastne vrednosti, lastni podprostori

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 10.3.2013 14:35

Ne. Kot prvo, ce bi bili lastni vektorji trije, bi bila izbira baze popolnoma poljubna, ker bi bili vsi pod isto lastno vrednostjo. Drugo, tvoji trije navedeni vektorji sploh niso linearno neodvisni. In tretje, narobe je izracunano:

\(A-\lambda I=\begin{bmatrix}-1&1&0\\-1&1&0\\1&1&0\end{bmatrix}\)
Ne vem od kod ti enacba z=0. Iz tega sistema dobis nasprotujoci enacbi x-y=0 in x+y=0, od koder takoj sledi x=y=0. z je pa poljuben. Edini lastni vektor je torej (0,0,1). Matrika torej ni diagonalizabilna.

algebra1
Prispevkov: 54
Pridružen: 25.12.2007 10:12
Kontakt:

Re: lastne vrednosti, lastni podprostori

Odgovor Napisal/-a algebra1 » 11.3.2013 10:50

a mi lahko prosim razložiš geometrijsko kratnost, nikakor mi ne gre.
hvala!

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: lastne vrednosti, lastni podprostori

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 11.3.2013 13:40

Lastni vektorji so tisti, ki pri delovanju preslikave ohranijo smer in le spremenijo velikost. Pri veckratni lastni vrednosti bi bilo idealno, ce se celoten podprostor zgolj raztegne (za dvojno lastno vrednost si lahko predstavljas, da se celotna ravnina, ki jo napenjata ta dva vektorja, raztegne za faktor lastne vrednosti, pri cemer vsi vektorji v ravnini ohranijo smer). To pa ni nujno, da se lahko zgodi: ce matrika ni normalna, v primeru veckratnih lastnih vrednosti lahko enacba Ax=lambda*x nima dovolj resitev (rang ni pravi). Primer tega je recimo strizna deformacija (kot primer na wikipediji http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... r_grid.png), kjer imas dve enaki lastni vrednosti, a se vektorji nagnejo, in zato ne ohranijo smeri (razen enega). V teh primerih matrika ni diagonalizabilna, ampak se v najboljsem primeru da pretvorit v Jordanovo formo (diagonalizirani deli z razlicnimi lastnimi vrednostmi, za posamezno veckratno vrednost pa ostanejo trikotni bloki (z nenicelnimi izvendiagonalnimi elementi). Takemu sistemu lahko dolocis korenske vektorje, kjer po veckratni uporabi matrike -- pri mnozenju z (A-lambda*I)^n, koncno zadeva postane 0.

KrasnaM
Prispevkov: 1
Pridružen: 8.2.2017 14:42

Re: lastne vrednosti, lastni podprostori

Odgovor Napisal/-a KrasnaM » 8.2.2017 14:53

Pozdravljeni, potrebovala bi sicer kar nekaj pomoči, vendar če mi katerokoli vprašanje pomagate razrešiti, bo super: Slika to so naloge, tukaj pa so rešitve: Slika

Potrebovala bi pomoč pri: 1. a), c), d) in e), 2.a) ta dokaz da je vektorski podprostor, 3) cela, 4) podprostore sem našla pravilne, vendar se mi potem ustavi.

Hvala za pomoč! :)

Odgovori

Kdo je na strani

Po forumu brska: 0 registriranih uporabnikov in 6 gostov