živjo, zanima me kako se reši naslednje 3 odvode:
\(f(x)=\ln \frac{x+3}{x-7} \;\;\mathrm{in}\;\; g(x)=\tan ^2(4x^2+1)\),
\(f(x)=\frac{x^2-3x}{(x+1)^2}\) ; potrebno je določiti: definicijsko območje, ničle, pole, asimptoto, presečišča z asimptoto, lokalne ekstreme, intervale naraščanja in padanja, prevoje, intervale konveksnosti in konkavnosti
in pa še: izmed vseh realnih števil poišči takšno, da bo razlika četrte in tretje potence najmanjša.
Hvala za pomoč.
Odvod
Re: Odvod
Pri prvi imas ze takoj izbiro, ali si naredis zivljenje lahko ali tezko 
Lahko gres takoj posredno odvajat, lahko pa najprej razbijes:
\(f(x)=\ln(x+3)-\ln(x-7)\)
in potem odvajas
\(f'(x)=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-7}\)
Druga:
No tukaj pac posredno odvajas:
\(g'(x)=2\tan (4 x^2+1)(\tan (4x^2+1))'=\)
\(=2\tan(4x^2+1)\frac{1}{\cos^2(4x^2+1)}(4x^2+1)'=\)
\(=\frac{2\tan(4x^2+1)}{\cos^2(4x^2+1)}8x=\)
\(=\frac{16 x\tan(4x^2+1)}{\cos^2(4x^2+1)}\)
Tretja:
Tezko kako drugace kot na zoprn nacin, kot odvod kvocienta:
\(f'(x)=\frac{(x^2-3x)'(x+1)^2-(x^2-3x)((x+1)^2)'}{(x+1)^4}=\)
\(=\frac{(2x-3)(x+1)^2-(x^2-3x)2(x+1)}{(x+1)^4}=\)
\(=\frac{5x-3}{(x+1)^3}\)
Ostalo upam da bo slo: nicle pac poisces, pole tudi znas najt, ostalo je pa itak vse isto (nicle in pozitivnost odvoda ti pove lokalne intervale in narascanje/padanje, nicle in pozitivnost drugega odvoda pa prevoje in konkavnost/konveksnost).
\(f(x)=x^4-x^3\)
\(f'(x)=4x^3-3x^2=0\)
Stacionarne tocke so x=0 in x=3/4. Pri x=0 ima odvod dvojno niclo tako da tisto sploh ni ekstrem ampak prevoj. x=3/4 bo prava resitev.
Lahko gres takoj posredno odvajat, lahko pa najprej razbijes:\(f(x)=\ln(x+3)-\ln(x-7)\)
in potem odvajas
\(f'(x)=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-7}\)
Druga:
No tukaj pac posredno odvajas:
\(g'(x)=2\tan (4 x^2+1)(\tan (4x^2+1))'=\)
\(=2\tan(4x^2+1)\frac{1}{\cos^2(4x^2+1)}(4x^2+1)'=\)
\(=\frac{2\tan(4x^2+1)}{\cos^2(4x^2+1)}8x=\)
\(=\frac{16 x\tan(4x^2+1)}{\cos^2(4x^2+1)}\)
Tretja:
Tezko kako drugace kot na zoprn nacin, kot odvod kvocienta:
\(f'(x)=\frac{(x^2-3x)'(x+1)^2-(x^2-3x)((x+1)^2)'}{(x+1)^4}=\)
\(=\frac{(2x-3)(x+1)^2-(x^2-3x)2(x+1)}{(x+1)^4}=\)
\(=\frac{5x-3}{(x+1)^3}\)
Ostalo upam da bo slo: nicle pac poisces, pole tudi znas najt, ostalo je pa itak vse isto (nicle in pozitivnost odvoda ti pove lokalne intervale in narascanje/padanje, nicle in pozitivnost drugega odvoda pa prevoje in konkavnost/konveksnost).
Minimiziras funkcijoin pa še: izmed vseh realnih števil poišči takšno, da bo razlika četrte in tretje potence najmanjša.
\(f(x)=x^4-x^3\)
\(f'(x)=4x^3-3x^2=0\)
Stacionarne tocke so x=0 in x=3/4. Pri x=0 ima odvod dvojno niclo tako da tisto sploh ni ekstrem ampak prevoj. x=3/4 bo prava resitev.