Vektorji

[matic99]

Pozdravljeni

Bi mi prosim kdo razložil kako se lotiti te naloge, ki sem jo dodal v priponko?

Hvala

[Aniviller]

Ploscina paralelograma bo enaka absolutni vrednosti vektorskega produkta stranic. Isces torej
\(|\vec{a}\times\vec{b}|\)
Vstavi a in b, izrazen z m in n, razbij na vsoto vektorskih produktov, upostevaj da je veliko clenov enakih 0, ostalo se pa lepo sesteje v en sam clen z nekim predfaktorjem. Ko uporabis absolutno vrednost, se vse zreducira na izraz \(|\vec{m}\times\vec{n}|\), ki je podan.

Visina paralelograma pa tudi ni problem: stranica*visina=ploscina, in ker imas ploscino, jo samo delis s stranico, pa si resen.

[bobosm]

Imam eno vprašanje:

Če imamo poljuben vektor:

Kako določimo množico vseh vektorjev v R^2, ki so pravokotni na x os.

[Aniviller]

Hm... pravokotni na vektorje oblike (x,0)? Ja (0,y).

[bobosm]

To mi nič ni jasno, zakaj (0, y). Kako lahko računsko to dokažemo?

[Aniviller]

Ma pač vsi navpični vektorji. Skalarni produkt pride 0 če so pravokotni. Pa sploh na pamet lahko veš, da je y os pravokotna na x os.

[Giska27]

Morda kdo zan tole nalogo:Dani so vektorji a=xi+j+4k, b=i-2xj in c=3xi-3j+4k, kjer so i,j,k, linearno neodvisni vektorji. Določi skalar x tako, da bodo vektorji a, b, c ležali na isti rvnini.


Hvala

[Aniviller]

Determinanta, sestavljena iz teh treh vektorjev (stolpcih ali vrsticah, ni važno), je 0, kadar so linearno neodvisno. Alternativno lahko to determinanto razumeš kot mešani produkt. V glavnem:
\(\begin{vmatrix}x&1&4\\1&-2x &0\\3x&-3&4\end{vmatrix}=0\)

[Giska27]

Kaj pa tale naloga: Točke O(0,0,0), A(1,0,1), B(1,1,2) in C(1,1,1) določajo paralelepiped. Poišči:
-enačbo premice- nosilke telesne diagonale iz točke O
-enačbo ravnine, na kateri leži točka A in je vzporedna z ravnino, ki jo določajo točke O,B in C
-kot pod katerim telesna diagonala iz O seka ploskev, določeno s točkami O,B in C

HVALA

[Aniviller]

Če so A,B,C vsaka vse sosede točke O (definirajo tri stranice paralelepipeda), potem je točka po telesni diagonali od O kar A+B+C. Iz O,B,C določiš normalo ravnine z vektorskim produktom, \(B\times C\). Če hočeš, da gre ravnina skozi A, moraš samo še premaknit enačbo ravnine, torej
\((\vec{r}-A)\cdot(B\times C)=0\)
Za kot pa poračunaj skalarni produkt z normalo.

[Giska27]

Hvala za odgovore. Se ta naloga mi ni čisto jasna. Poišči enačbo premice, ki gre skozi točko A(3,-1,-1) in seka premico x-2=(y-5)/2=(z+3)/-2 in je vzporedna ravnini x+y+z=2.

Hvala

[Aniviller]

Res malo zoprna naloga zaradi tistega sekanja. No, točko A lahko kar vzameš za izhodišče iskane premice. Tako da iščeš samo še smerni vektor. Ta smerni vektor bo nujno pravokoten normali podane ravnine. Ne veš pa v kateri smeri pravokoten... ampak sekanje premic lahko zapišeš kot pogoj z mešanim produktom. Recimo če imaš premici (drugo v celoti poznaš - prebereš iz podatkov, pri prvi ti manjka smerni vektor)
\(\vec{r}=A+t\vec{s}\)
in
\(\vec{r}=A'+t'\vec{s}'\)
lahko zahtevaš sekanje tako, da poiščes smer \(\vec{s}\times\vec{s}'\) - normalo ravnine, ki jo določata sekajoči se premici, ter zahtevaš, da sta potem res na skupni ravnini tako, da razlike vektorjev med tema dvema premicama nimajo komponente v smeri ravnine: \((A'-A)\cdot(\vec{s}\times\vec{s}')=0\). Ta pogoj obrneš okrog (ciklično rotiraš vse tri vektorje mešanega produkta):
\(\vec{s}\cdot(\vec{s}'\times(A'-A))=0\)
To je pa odlično: smerni vektor \(\vec{s}\) mora biti pravokoten tako na normalo ravnine, ki ji je vzporedna (\(\vec{n}=(1,1,1)\)), kot tudi vektorju \(\vec{s}'\times(A'-A)\)! Torej ga lahko enostavno izraziš kot vektorski produkt:
\(\vec{s}=\vec{n}\times (\vec{s}'\times(A'-A))\)

[Giska27]

Mi lahko nekdo razloži tole nalogo. Tocke A(2,-5,-2), B(2,-2,-1) in C(2, 2, 2) so oglisca trikotnika. Zapisite enacbo premice skozi tocki A in B ter poiscite pravokotno projekcijo tocke C na to premico. Enačba premice še gre pravokotne projecije pa nikakor ne najdem.


hvala

[Aniviller]

\(\vec{r}=A+(B-A)t\)
je enačba premice (parameter t).

Projekcija na vektor bi ti morala bit znana reč. Projeciraš AC na AB... in dobiš vektor od A do projekcije. Pol pa pač A plus ta vektor je pa iskana točka:

\(AD=\frac{(AC\cdot AB)}{|AB|^2}AB\)
\(D=A+AD\)
Kjer so seveda AD, AB,... vektorji (AD=D-A, AB=B-A), tamle imaš pa skalarni produkt.

[zanimamenevem]

lp
prosil bi za pomoč:
Dan je trikotnik z oglišci A(−1, 0, 1), B(2, 3, 1), C(1, 0, −1). Poišči točko T, kjer
višina iz točke C na stranico AB seka to stranico.
in sicer pridem do tega da je (O=izhodišče) OT=OB+k*BA ali =OC+CA+k*AT ampak ne vem kako bi uzračunal k. Ali obstaja kašna druga metoda al pa kej ne opazim. Hvala:)