Vektorji

[shrink]

Obstaja več načinov reševanja. Še najlažji se mi zdi način preko uporabe skalarnega produkta:

1. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CT}=0\) ... \(\overrightarrow{AB}\) je pravokoten na \(\overrightarrow{CT}\)

2. \(\overrightarrow{CT}\cdot\overrightarrow{AT}=0\) ... \(\overrightarrow{CT}\) je pravokoten na \(\overrightarrow{AT}\)

3. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\vert \overrightarrow{AB} \vert \vert \overrightarrow{AT} \vert\) ... po definiciji skalarnega produkta: produkt dolžine \(\overrightarrow{AB}\) in projekcije \(\overrightarrow{AC}\) na \(\overrightarrow{AB}\) (t.j. dolžine \(\overrightarrow{AT}\))

Tako imaš na razpolago 3 enačbe za 3 neznanke: x, y, z (koordinate T).

P.S. Šele sedaj vidim, da je že predhodnik postavil isti problem: glej tudi način reševanja, ki ga je zapisal Aniviller.

[zanimamenevem]

Hvala!!! sm pozbu na pravokotnost višine ja
Zna bit da bom še kej uprašau.
Zdej imam nalogo : Prezrcali točko t(-1,3,0) čez ravnino 2x-y+z=7 . Nalogo sicer znam rešit vendar mi bo na izpitu uzela čist preveč časa če bo notri ker ne smemo kalkulatorja in umes so grozni rezultati. Postopek po katerem rešujem: najprej premaknem točko t na rob ravnine (aja če bi bila kašna opcija z drugačnim normiranjem ker zaradi normiranja se pojavijo čudni umesni rezultati; seveda normalo normiram normirana normala: 2/koren6,-1/koren6,1/koren6 )T'=t-n*d nato grem izračunat dvojno pravokotno projekcijo na normalo se pravi TOČKA, NA ROBu RAVNINE =T'-2*n(n skalarno T') in nato še prištejem u. No skratka zanima me ali je pri tem kašna možnost da bi bilo računanje hitrejše(zaradi normiranja in usega tega me preveč upočasni, pa še predznake kdaj zafrknem ker je ceu list računov usaj pri men) ker vem da sem ko sem se učil za kolokvije sam samo uvedel premico in je bilo računaje veliko lažje zdej me pa zanima še za to verzijo če bi kdo vedu pomagat (isto če mi kdo pove kako je če je čez premico)
se pravi dam x=-1+2t
y=3-t
z=t ......... t mi pride 2. ampak kot mam rešitve bi mogu pridit 4(da prezrcaljena točka pride prav) ali je fora tega da moram dat 2*t zato ker sm s tem tjem do sedaj naredu samo pou razdalje al pa delam narobe ?


Hvala!!!

[shrink]

Sicer sem se težko prebil skozi postopek, ki si ga navedel, a načeloma se mi zdi, da je pravilen. Kako najhitreje rešiti nalogo, je pa drugo vprašanje. Sicer se mi ne zdi, da je dosti računanja:

1. Najprej izračunaš razdaljo točke \(T\) (s krajevnim vektorjem \(\vec{r}\)) do ravnine (z normalo \(\vec{n}\) in poljubno točko na njej \(T_0\) oz. \(\vec{r_0}\)) po znani formuli:

\(d=(\vec{r}-\vec{r_0})\cdot\hat{\vec{n}}\),

kjer je \(\hat{\vec{n}}\) normirana normala.

2. Nato izračunaš vektor, ki kaže od slike T' do originala T (ta je seveda kolinearen z normalo in ima dolžino natanko \(2d\); mimogrede: če sta vektorja nasprotno usmerjena, je \(d\) negativen):

\(\overrightarrow{T'T}=2d\hat{\vec{n}}\).

Krajevni vektor iskane točke - slike T' (in s tem koordinate) je seveda:

\(\vec{r'}=\vec{r}-\overrightarrow{T'T}}\).

Če te motijo tisti koreni, ki jih dobiš z normiranjem, jih pač lahko pustiš izpostavljene v obliki multiplikativnega faktorja pred normalo - ker se v končni rešitvi normirana normala pojavi 2x, to pomeni kvadrat dolžine normale v imenovalcu oz. da se na koncu znebiš korena.

[sovica_123]

Hej!

Potrebujem pomoč pri reševanju te naloge:
Naj bosta a in b takšna neničelna vektorja, da velja (2a−b) ⊥ (a+b) in (a−2b) ⊥ (2a+b).
Določi kot ∠(a,b).

Kako se lotim reševanja, s skalarnim produktom, kako naprej? Vesela bi bila, če mi lahko kdo napiše celoten postopek. Hvala že vnaprej.

[qg]

Hej!

Potrebujem pomoč pri reševanju te naloge:
Naj bosta a in b takšna neničelna vektorja, da velja (2a−b) ⊥ (a+b) in (a−2b) ⊥ (2a+b).
Določi kot ∠(a,b).

Kako se lotim reševanja, s skalarnim produktom, kako naprej? Vesela bi bila, če mi lahko kdo napiše celoten postopek. Hvala že vnaprej.

Pri prvi enačbi pomnožiš vsak člen z vsakim in dobiš
2a^2-b^2+ab cos fi =0
Podobno narediš še z drugo enačbo.
Dobiš dve enačbi in tri neznanke. A lahko postaviš za b karkoli npr 1 in greš računat kot fi. ...
Pride mi cos fi = -1/5, a preveri.

[sovica_123]

Hej!

Potrebujem pomoč pri reševanju te naloge:
Naj bosta a in b takšna neničelna vektorja, da velja (2a−b) ⊥ (a+b) in (a−2b) ⊥ (2a+b).
Določi kot ∠(a,b).

Kako se lotim reševanja, s skalarnim produktom, kako naprej? Vesela bi bila, če mi lahko kdo napiše celoten postopek. Hvala že vnaprej.

Pri prvi enačbi pomnožiš vsak člen z vsakim in dobiš
2a^2-b^2+ab cos fi =0
Podobno narediš še z drugo enačbo.
Dobiš dve enačbi in tri neznanke. A lahko postaviš za b karkoli npr 1 in greš računat kot fi. ...
Pride mi cos fi = -1/5, a preveri.

Hmm.. v rešitvah je rezultat cos fi= -1/koren iz 10 oz. fi=108,4°

[qg]

Da, v resnici pride ... -sqrt(1/10).

A dokončaj sama.

[sovica_123]

Aha, pa res..hvala ampak še nekaj mi ni jasno..zakaj lahko tam vzamem poljubno število za b, npr 1? malo sem zmedena

[qg]

Ker ti je pri računanju kota pomembno samo razmerje a/b. Če sta obe stranici 5 krat večji, je kot še vedno enak.

[sovica_123]

Najlepša hvala za obrazložitev!

[qg]

Lahko obe enačbi deliš z b^2 in vidiš, da se a/b obnaša, kot eno število, a jev in b jev samostojno potem nimaš.