Fourierove vrste - konvergenca

[nori_norec]

Spet jaz. Na izpitu je bilo vprašanje:
Kdaj Fourierova vrsta konvergira po točkah in kdaj enakomerno. Pojasni.

Pa recmo, da sm natolkel eno definicijo ali trditev niti sam nevem kaj je, da ce je f:R->R in je zvezno odvedljiva in periodična s periodo 2PI, potem fourierova vrsta konvergira enakomerno in absolutno.

Morda še kak izrek, kaj bolj "po domače" povedano, da bi dejansko razumel kaksna je razlika oz kaki pogoji morejo biti, da konvergira po točkah ali enakomerno.

Vsaka pomoč je dobrodošla, aja pa jutri imam zagovor tako da prosim čimhitrej če je le mogoče

Hvala za vaš čas.

[Aniviller]

No saj ta trditev je cisto prav.

Konvergenca po tockah pomeni, da za vsak x dobis zaporedje, ki konvergira h koncnemu rezultatu. Pa vendar ni nujno, da za vse x konvergira enako hitro (posebej na kaksnih cudnih robovih). Enakomerna zveznost zahteva, da najvecji mozni odmik od koncnega rezultata ZA VSE x konvergira k 0. In ce imas kaksne smesne vogale, kjer gre hitrost konvergence proti 0 ko prides blizu k robu, potem moras tiste tocke cakat neskoncno casa, da skonvergirajo - tipicno se to zgodi, ce imas kak pol, ali stopnico. Tipicen primer za stopnico je, da recimo tocke tik zraven skoka rabijo neskoncno casa da pridejo do koncnega rezultata - recimo ce konvergiras k funkciji, ki je f(0)=0 in f(x>0)=1, in docakas recimo, da f(0.001) pride dovolj blizu k 1, bo f(0.00001) se vedno prakticno pri nicli ali kaj podobnega - take stvari torej kvarijo enakomerno konvergenco. In zato rabis zvezno odvedljivost (ni dovolj, da je zvezna, rabis se bolj gladko, drugace na ostrih robovih spet pride do tezav).