analiza_fmf

O matematiki, številih, množicah in računih...
DirectX11
Prispevkov: 410
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a DirectX11 » 10.8.2015 12:21

Ta filter, ki ga omenjaš ali ni to Diracova delta funkcija premaknjena za eno enoto naprej? Ker širina je 1, višina je 1, prav tako pa ima centralno frekvenco 1. Val oscilira med minus in plus. Medtem ko filter je definiran samo za pozitivna števila, pravzprav zgleda kot pravokotnik. Ali bi lahko razložil bolj poljudnoznanstveno, ker jaz nisem matematik.

Hvala.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14371
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a shrink » 10.8.2015 18:36

Ne, Fourierjeva transformiranka delta funkcije premaknjene za 1 v desno je:

\(\displaystyle\mathcal{F}(\delta(x-1))=e^{-i\omega}\)

in niti ne izpolnjuje \(H(0)=0\).

Sicer pa se mi zdi, da mešaš val v časovnem prostoru in njegovo sliko v frekvenčnem prostoru (Fourierjevo transformiranko). Fourierjeva transformiranka vala/valčka namreč ravno zgleda kot pravokotnik; npr. za Shannonov val(ček):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=si ... i*t%2F2%29

zgleda Fourierjeva transformiranka tako:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=si ... +transform

Kar se tiče razlag, pa bolj nematematično kot v prej omenjenem blogu verjetno ne gre.

DirectX11
Prispevkov: 410
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a DirectX11 » 10.8.2015 20:29

shrink napisal/-a:
je potem že nekako jasno, kakšno frekvenčno karakteristiko (spekter) to pomeni: takšno, kot jo imajo ozkopasovni filtri; npr. za ozkopasovni filter drugega reda (s centralno frekvenco \(\omega=1\), pasovno širino 1 in amplitudo 1):
Tukaj si omenil, če pravilno razumem da ima valček enak spekter (Fourierjeva transformacija) kot ozkopasovni filter. Vendar je filter, kot sem rekel, vendar nepravilno da je škatla. Mislil sem slednje:

Slika

Omenil sem tudi, da ima filter zalogo vrednosti le pozitivna števila. Medtem ko valček oscilira med pozitivnimi in negativnimi. Torej kako bi obrazložil slednje?

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14371
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a shrink » 10.8.2015 21:56

"Takšen" ne pomeni "enak", ampak le "omejen na določen frekvenčni pas", kar sem zapisal na koncu. Sicer pa si sam omenjal, da "zgleda kot pravokotnik" in to je res za ozkopasovne filtre (kot je vidno tudi iz slike, ki si jo prilepil).

Še vedno pa mešaš časovni in frekvenčni prostor: slika, ki si jo prilepil, pomeni karakteristiko filtra v frekvenčnem prostoru (torej: Fourierjevo transformiranko), medtem ko valček pomeni signal v časovnem prostoru. To bi ti moralo biti jasno tudi iz primera Shannonovega valčka: prvi link na WolframAlpha vsebuje njegovo sliko v časovnem prostoru, drugi link pa sliko njegove Fourierjeve transformiranke (omejena na določen frekvenčni pas kot pri ozkopasovnem filtru); torej v frekvenčnem prostoru. Upam, da je sedaj jasno.

DirectX11
Prispevkov: 410
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a DirectX11 » 11.8.2015 9:54

Zakaj sta pri Shannovem valčku dve simetrični škatli?. Če pogledam pri frekvenci 0, je res enako 0. Vendar si omenil, da nujno ne pomeni, da ni odziva v frekvenčnem prostoru. To je res, vidim dve škatli. Kakšna je tista funkcija, katero si napisal kot frekvenčna karakteristika.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14371
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a shrink » 11.8.2015 18:04

Poglej v linku na wikipedijo, ki sem ga navedel. Pa še WolframAlpha je isto naračunal.

DirectX11
Prispevkov: 410
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a DirectX11 » 11.8.2015 19:23

Sem narisal kako jaz razumem, graf v frekvenčnem prostoru. Slednji je Fourier od Shannovega valčka.

Slika

Nisem pa nikjer našel kaj pomeni H v tvoji definiciji. Recimo H(0). Pravzprav me zanima kakšna je ta funkcija, ki si jo zapisal H(i*omega).

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14371
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a shrink » 11.8.2015 20:31

\(H(i\omega)\) je Fourierjeva transformiranka prenosne funkcije \(H(D)\) v časovnem prostoru, ki je v splošnem definirana kot razmerje med izhodnim in vhodnim signalom (spremenljivko):

\(\displaystyle H(D)=\frac{y(t)}{x(t)}\)

kjer je \(D\equiv \frac{d}{dt}\) diferencialni operator po času. Tako \(H(D)\) ne pomeni nič drugega kot informacijo o diferencialni enačbi, ki opisuje nek dinamični sistem. Laplaceova transformacija da \(H(s)\) oz. klasično prenosno funkcijo sistema, Fourierjeva transformacija pa frekvenčno karakteristiko \(H(i\omega)\), ki je v splošnem funkcija kompleksne spremenljivke. Za predočitev frekvenčne karakteristike se uporabljajo različni diagrami (Bodejevi, Nyquistovi). Amplitudo spektra seveda podaja absolutna vrednost \(\vert H(i\omega) \vert\), za primer ozkopasovnega filtra pač moraš poiskati absolutno vrednost kompleksnega števila:

\(\displaystyle\frac{i\omega}{(i\omega)^2+i\omega+1}=\frac{i\omega}{1-\omega^2+i\omega}\)
\(\displaystyle=\frac{i\omega(1-\omega^2-i\omega)}{(1-\omega^2)^2+\omega^2}=\frac{\omega^2+i\omega(1-\omega^2)}{(1-\omega^2)^2+\omega^2}\)

Torej:

\(\displaystyle\vert H(i\omega) \vert=\frac{\sqrt{\omega^4+(\omega(1-\omega^2))^2}}{(1-\omega^2)^2+\omega^2}\)

To predstavlja odvisnost amplitude od frekvence (graf bo oblike kot na sliki, ki si jo prilepil, s tem, da je tam predočena moč signala, torej: kvadrat amplitude). Če je frekvenčna skala logaritemska, amplituda pa predočena kot \(20\log(\vert H(i\omega) \vert)\), to predstavlja amplitudni del Bodejevega diagrama.

DirectX11
Prispevkov: 410
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a DirectX11 » 12.8.2015 16:26

Ali bo vsak valček, imel takšno karakteristiko v frekvenčnem prostoru, podobno kot zadnji graf, ki sem ga prilepil? In kaj je B v našem primeru?

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14371
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a shrink » 12.8.2015 20:32

Odgovora že poznaš:

- frekvenčni spekter na ozkem pasu;

- Poglej v linku na wikipedijo, ki sem ga navedel. Pa še WolframAlpha je isto naračunal. (Upam, da vidiš, da transformiranka nima oblike racionalne funkcije).

DirectX11
Prispevkov: 410
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a DirectX11 » 15.8.2015 21:13

Iz grafov vidim, da je frekvenčni spekter na ozkem pasu. Vendar kako vemo da bo vedno Fourierjeva transformacija od 0 enaka 0.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14371
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a shrink » 16.8.2015 3:27

Hja, poglej integral: če \(\Psi(0)\ne 0\), potem gre integrand pri \(\omega=0\) preko vseh meja in je integral divergenten.

DirectX11
Prispevkov: 410
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a DirectX11 » 16.8.2015 11:19

Aja, torej če drži to: \(\Psi(0) = 0\), potem je integral konvergenten. Vendar še vedno ne vidim kateri integral misliš.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14371
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a shrink » 18.8.2015 9:10

DirectX11 napisal/-a:Aja, torej če drži to: \(\Psi(0) = 0\), potem je integral konvergenten. Vendar še vedno ne vidim kateri integral misliš.
Hja, poglej nazaj svoj prvi post.

DirectX11
Prispevkov: 410
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: analiza_fmf

Odgovor Napisal/-a DirectX11 » 18.8.2015 11:19

Hvala sedaj razumem. Zanima me še spekter moči. Torej izračunamo Fourierjevo transformacijo in jo kvadriramo, vendar dobimo samo kompleksna števila. Kako potem izrišemo graf? Saj je spekter moči Fourier in kvadrat?

Odgovori