zdravo.
Imam dve neumni vprašanji.
1.) Kako določiti kot pri polarnem zapisu kompleksnega števila? izračunaš tg (fi) ... do sem pridem, potem pa ne vem kako naprej... če je recimo kompl. število z= -1 + i(3^(1/2)) ... potem je tg= - koren3 in od tod sledi kaj? potrebno je upoštevati,da je to minus pi/3 ... ker pa je to število v drugem kvadrantu, moramo to kako upoštevat? damo 2pi - pi/3 ali kaj? kaj pa bi bilo v drugih kvadrantih?
2.)kako v zaporedju s splošnim členom 100^n / (n!) dokazat, da je naraščajoče do desetega člena. js sm nardila kvocient med naslednikom in tem, dobila in v to vstavila 10 in ker je večje od ena narašča. je to ok?
kompleksna števila in zaporedja
Re: kompleksna števila in zaporedja
1) Ja ko tangens razrešiš, imaš še nedoločeno do mnogokratnika pi, in to moraš ročno popravit glede na kvadrant. V tvojem primeru je to -pi/3, ampak za -z=1-i(3^(1/2)) bi pa bila prava rešitev -pi/3+pi=2pi/3. No, pa dodatek poljubnega mnogokratnika 2pi seveda ne spremeni rezultata (vsi so prav). Stranska posledica tega je, da ko koreniš, dobiš več rešitev (tisti mnogokratniki 2pi ki so bili pred korenjenjem isto, dajo potem ko recimo daš na potenco 1/2 dve različni rešitvi preden se začne spet ponavljat).
2) Tako ja.
2) Tako ja.
Re: kompleksna števila in zaporedja
kako je pa potem recimo s številom: z = -2 - 2i ...nas pa zanima koliko je z^2013 ?
IzI=2
tgß=1 , torej je ß pi/4 ... ker pa je v 4. kvadrantu moram upoštevati kaj? res sem zmedena glede tega. moram dati 2pi- pi/4 ali je kar pi/4 rezultat?
potem pa tako napišem rešitev kot 2^2013 (cos 2013ß + isin2013ß) ... to mi je jasno,samo kako ta kot,to pa res ne znam
IzI=2
tgß=1 , torej je ß pi/4 ... ker pa je v 4. kvadrantu moram upoštevati kaj? res sem zmedena glede tega. moram dati 2pi- pi/4 ali je kar pi/4 rezultat?
potem pa tako napišem rešitev kot 2^2013 (cos 2013ß + isin2013ß) ... to mi je jasno,samo kako ta kot,to pa res ne znam
Re: kompleksna števila in zaporedja
no sej neki sm si pršla gor,sam rabim potrditev...
če je prvi ali četrti kvadrant je to kr rešitev, če imamo pa 2/3 pa damo potem pi+ tista vrednost?
če je prvi ali četrti kvadrant je to kr rešitev, če imamo pa 2/3 pa damo potem pi+ tista vrednost?
Re: kompleksna števila in zaporedja
lahko še pomoč pri tej nalogi?
zaporedje je bn == ((n+1)/n)*cos(n*pi/3)
zanimajo me stekališča, to dobim,da sta -1 in 1, pa ne vem čwe je prav. pa potem je potrebno za vsako stekališče najti kako konvergentno podzaporedje, ki bo konvergiralo k temu stekališču. potem je vpr. če je bn konvergentno, to sem odgovorila,da ne,ker ni ne naraščajoče ne padajoče, potem je pa še vpr. omejenost. kako je pa s tem?
navzgor z dve, navzdol z -2?
zaporedje je bn == ((n+1)/n)*cos(n*pi/3)
zanimajo me stekališča, to dobim,da sta -1 in 1, pa ne vem čwe je prav. pa potem je potrebno za vsako stekališče najti kako konvergentno podzaporedje, ki bo konvergiralo k temu stekališču. potem je vpr. če je bn konvergentno, to sem odgovorila,da ne,ker ni ne naraščajoče ne padajoče, potem je pa še vpr. omejenost. kako je pa s tem?
navzgor z dve, navzdol z -2?
Re: kompleksna števila in zaporedja
Ma saj ni tko težko... Kot prvo, \(|z|=2\sqrt{2}\). Kot drugo, saj vidiš kje je to število: v 3. kvadrantu na diagonali, torej pi+pi/4=5pi/4. Sej niti tangensa ne rabiš. Vedno si nariši kje je, in nariši kot. Bo popolnoma nedvoumno. Torejtati napisal/-a:kako je pa potem recimo s številom: z = -2 - 2i ...nas pa zanima koliko je z^2013 ?
IzI=2
tgß=1 , torej je ß pi/4 ... ker pa je v 4. kvadrantu moram upoštevati kaj? res sem zmedena glede tega. moram dati 2pi- pi/4 ali je kar pi/4 rezultat?
potem pa tako napišem rešitev kot 2^2013 (cos 2013ß + isin2013ß) ... to mi je jasno,samo kako ta kot,to pa res ne znam
\(z=2\sqrt{2}e^{i 5\pi/4}\) (lahko pišeš kosinus in sinus, sam tisto je sam več pisanja).
Eksponentno funkcijo potencirat je najlažja stvar na svetu:
\(z^{2013}=(2\sqrt{2})^{2013}e^{i 2013\cdot 5\pi/4}\)
Zdaj lahko tisto zapišeš kot 2013*5/4*pi in iz tega zdaj lahko vse mnogokratnike 2pi ven pobereš brez spremembe rezultata. Jaz bi kar izpostavil 2pi in izpustil celi del preostanka:
(2013*5/8)*(2pi)=(10065/8)*(2pi)=(1258+1/8)(2pi)
torej lahko gledaš samo 1/8(2pi)=pi/4. Rezultat bo torej v prvem kvadrantu na diagonali.
Lažje kot to. Tisti kosinus se ti ponovi na vsakih 6 korakov, saj dosežeš periodo kosinusa (2pi). Za vsako podzaporedje tipa 0+6*k, 1+6*k, 2+6*k (vsak šesti) dobiš iz kosinusa vedno isto, tisti oklepajček spredaj pa itak konvergira k 1. Tako da imaš vsa stekališča (ker se kosinusi že znotraj 2pi malo ponavljajo, dobiš 4 stekališča: 1,-1,0.5,-0.5).tati napisal/-a:lahko še pomoč pri tej nalogi?
zaporedje je bn == ((n+1)/n)*cos(n*pi/3)
zanimajo me stekališča, to dobim,da sta -1 in 1, pa ne vem čwe je prav. pa potem je potrebno za vsako stekališče najti kako konvergentno podzaporedje, ki bo konvergiralo k temu stekališču. potem je vpr. če je bn konvergentno, to sem odgovorila,da ne,ker ni ne naraščajoče ne padajoče, potem je pa še vpr. omejenost. kako je pa s tem?
navzgor z dve, navzdol z -2?
Re: kompleksna števila in zaporedja
lahko prosim poračunate: Z== -1 + i*(3)^(1/2) nas zanima z na 2013. dobila sem namreč kar 2 na 2013 in mi je čudno. abs(z)==2 in tg = -k3 kar pomeni da je kot 2pi/3?
Re: kompleksna števila in zaporedja
Saj je ok.
\(z=-1+i\sqrt{3}\)
\(|z|=\sqrt{1+3}=2\)
\(z=2e^{i\phi}\)
\(\phi=\frac{2\pi}{3}\)
Ker je tale kot tretjina polnega kota, bo vsaka potenca, deljiva s 3, dala pozitivno realno število:
\(z^{2013}=2^{2013}e^{i 2013\cdot 2\pi/3}=2^{2013}e^{617\cdot i 2\pi}=2^{2013}1^{617}=2^{2013}\)
\(z=-1+i\sqrt{3}\)
\(|z|=\sqrt{1+3}=2\)
\(z=2e^{i\phi}\)
\(\phi=\frac{2\pi}{3}\)
Ker je tale kot tretjina polnega kota, bo vsaka potenca, deljiva s 3, dala pozitivno realno število:
\(z^{2013}=2^{2013}e^{i 2013\cdot 2\pi/3}=2^{2013}e^{617\cdot i 2\pi}=2^{2013}1^{617}=2^{2013}\)