Prosim če mi lahko kdo pomaga pri reševanju te naloge:
Stavnica ima 50 polj, ki pripadajo 25 velikim in 25 malim črkam slovenske abecede.
Zraven sodi še 50 kartončkov, na katerih so napisane ustrezne velike in male črke.
Kartončke na slepo razporedimo na polja, na vsako polje po enega. Slučajna spremenljivka
X naj označuje število polj, na katerih je kartonček z ustrezno črko, pri
čemer pa velikih in malih črk ne ločimo. Izračunajte E(X) in var(X).
Označimo črke a,b,c,...,ž,A,B,C,...,Ž. Naj bodo \(X_1,\ldots,X_{50},Y_1,\ldots,Y_{50}\) slučajne spremenljivke, kjer je \(X_i=1\), če se i-ta črka ujema s kartončkom (in se tudi velikost črke ujema), in \(X_i=0\) sicer, in je \(Y_i=1\), če se i-ta črka ujema (in se velikost črke ne ujema), in \(Y_i=0\) sicer. Potem je \(X=X_1+\ldots+X_{50}+Y_1+\ldots+Y_{50}\).
Seveda je \(P(X_i=1)=P(Y_i=1)=\frac{1}{50}\), zato \(E(X_i)=E(Y_i)=\frac{1}{50}\) in \(E(X)=\sum E(X_i)+\sum E(Y_i)=\frac{100}{50}=2\).
Za \(var(X)\) upoštevam formulo za varianco vsote in dobim \(var(X)=\sum var(X_i)+\sum var(Y_i)+2\sum_{i<j}cov(X_i,X_j)\)\(+2\sum_{i<j}cov(Y_i,Y_j)+2\sum_{i,j}cov(X_i,Y_j)\).
Izračunam \(var(X_i)=E(X_i^2)-E(X_i)^2=E(X_i)-E(X_i)^2=\frac{49}{50^2}\) in podobno \(var(Y_i)=\frac{49}{50^2}\), \(cov(X_i,X_j)=E(X_iX_j)-E(X_i)E(X_j)=\frac{1}{50\cdot 49}-\frac{1}{50^2}=\frac{1}{50^2\cdot 49}\), podobno \(cov(Y_i,Y_j)=\frac{1}{50^2\cdot 49}\) in tudi \(cov(X_i,Y_j)=\frac{1}{50^2\cdot 49}\), razen v primeru, ko je \(i-j\in\{0,25,-25\}\); takrat je \(P(X_iY_j=1)=0\) in zato \(cov(X_i,Y_j)=-E(X_i)E(Y_j)=-\frac{1}{50^2}\).
Parov \((i,j)\), \(i-j\in\{0,25,-25\}\), je točno \(50\cdot 2=100\), torej dobim \(var(X)=50\cdot\frac{49}{50^2}+50\cdot\frac{49}{50^2}+2(1+2+\ldots+49)\cdot\frac{1}{50^2\cdot 49}\)\(+2(1+2+\ldots+49)\cdot\frac{1}{50^2\cdot 49}+2(\cdot 50^2-100)\cdot\frac{1}{50^2\cdot 49}+2\cdot 100\cdot(-\frac{1}{50^2})\).
Dobim \(var(X)=\frac{96}{49}\) (če se nisem kje zmotil).
