Pozdravljeni!
Pred kratkim sem naletel na trditev, da je vsota naravnih števil enaka -1/12.
Zanima me, če je dokaz za to trditev z Riemannovo zeta funkcijo pravilen oziroma zadosten, da ta trditev drži.
Če trditev ne drži, bi prosil za utemeljitev.
Če drži, kje vse jo lahko uporabljamo? En primer uporabe je v računanju z 26-mi dimenzijami v teoriji strun.
Hvala za odgovore.
LP
Vsota naravnih števil
Re: Vsota naravnih števil
Vsota neskončne množice števil v splošnem ni definirana. Števila je treba najprej razvrstiti v zaporedje, preden jih lahko seštejemo. Ampak, kakorkoli razvrstimo naravna števila v zaporedje \(a_1,a_2,\ldots\), vedno dobimo vsoto \(\sum_{i=1}^\infty a_i\), ki je divergentna. Zato lahko v tem kontekstu rečemo kvečjemu, da je vsota vseh naravnih števil enaka \(\infty\) (ali pa da ne obstaja).
Lahko pa, da obstaja še kaka druga definicija vsot neskončnih množic števil, za katero ne vem.
Lahko pa, da obstaja še kaka druga definicija vsot neskončnih množic števil, za katero ne vem.
Re: Vsota naravnih števil
http://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8 ... e=youtu.be
Tukaj sem Vam dal link do posnetka v katerem je dokaz za zgornjo trditev.
Prosil bi Vas, če si ga ogledate in mi poveste, če je pravilno dokazal trditev ali je kje naredil napako.
Hvala za odgovor.
LP
Tukaj sem Vam dal link do posnetka v katerem je dokaz za zgornjo trditev.
Prosil bi Vas, če si ga ogledate in mi poveste, če je pravilno dokazal trditev ali je kje naredil napako.
Hvala za odgovor.
LP
Re: Vsota naravnih števil
No, regularizacija divergentnih vrst je dokaj rutinska stvar, nekaj jih poznamo že iz zelo enostavnih primerov. Stvari tudi niso samo iz trte zvite ampak imajo v nekaterih kontekstih pomen in korist.
Tipičen primer vsote divergentne vrste je recimo geometrijska vrsta, kjer regularizacija sledi direktno iz analitičnega nadaljevanja obrazca - recimo
\(1+2+4+8+\cdots = \frac{1}{1-2}=-1\)
Aritmetika še vedno velja, recimo če se ti v fizikalni formuli pojavita dve tovrstni neskončnosti, se še vedno odštejeta:
\(2+4+8+\cdots= \frac{2}{1-2}=-2\)
in če to dvoje odšteješ, dobiš \(-1-(-2)=1\) kar je prav.
Regularizacijskih metod je veliko, vsak ima določeno območje uporabnosti, a ponavadi dobiš isti rezultat (od tistih, ki sploh delujejo v danem primeru). Recimo opaziš skupno lastnost, da je hudo divergentna vsota pozitivnih števil ponavadi negativna (nekako logično, saj "pride okrog"). Zeta regularizacija je precej razširjena (Zeta funkcije, ki je osnovna ideja te regularizacije, je sploh neke vrste magična žival matematike). Definirana je kot
\(\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\)
kar konvergira za s>1 (v realnem, v kompleksnem pa, dokler je realni del >1). V tvojem primeru gre za posebej enostaven primer, saj je vsota 1+2+3+... kar vrednost \(\zeta(-s)\), ki je toliko, kot si navedel. Kot vsako funkcijo, namreč tudi Zeta funkcijo lahko izračunaš na različne načine, ne samo z vrsto, in kaj hitro najdeš način, ki konvergira tudi izven konvergenčnega območja zgornje vrste.
Gre torej za posplošeno seštevanje vrst, ki je, če ne drugega, zanimivo in se izide, včasih pa tudi prav pride.
Tipičen primer vsote divergentne vrste je recimo geometrijska vrsta, kjer regularizacija sledi direktno iz analitičnega nadaljevanja obrazca - recimo
\(1+2+4+8+\cdots = \frac{1}{1-2}=-1\)
Aritmetika še vedno velja, recimo če se ti v fizikalni formuli pojavita dve tovrstni neskončnosti, se še vedno odštejeta:
\(2+4+8+\cdots= \frac{2}{1-2}=-2\)
in če to dvoje odšteješ, dobiš \(-1-(-2)=1\) kar je prav.
Regularizacijskih metod je veliko, vsak ima določeno območje uporabnosti, a ponavadi dobiš isti rezultat (od tistih, ki sploh delujejo v danem primeru). Recimo opaziš skupno lastnost, da je hudo divergentna vsota pozitivnih števil ponavadi negativna (nekako logično, saj "pride okrog"). Zeta regularizacija je precej razširjena (Zeta funkcije, ki je osnovna ideja te regularizacije, je sploh neke vrste magična žival matematike). Definirana je kot
\(\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\)
kar konvergira za s>1 (v realnem, v kompleksnem pa, dokler je realni del >1). V tvojem primeru gre za posebej enostaven primer, saj je vsota 1+2+3+... kar vrednost \(\zeta(-s)\), ki je toliko, kot si navedel. Kot vsako funkcijo, namreč tudi Zeta funkcijo lahko izračunaš na različne načine, ne samo z vrsto, in kaj hitro najdeš način, ki konvergira tudi izven konvergenčnega območja zgornje vrste.
Gre torej za posplošeno seštevanje vrst, ki je, če ne drugega, zanimivo in se izide, včasih pa tudi prav pride.
Zadnjič spremenil Aniviller, dne 15.1.2014 20:54, skupaj popravljeno 1 krat.
Re: Vsota naravnih števil
Aha no saj so povedali isto kot jaz. Mimogrede, Numberphile lahko zaupaš, so dejansko profesorji matematike, ni neko amatersko nakladanje. Priporočam ogled tudi drugih prispevkov.
Re: Vsota naravnih števil
Hvala za odgovor!
LP
LP
Re: Vsota naravnih števil
Ali je vsota naravnih števil v zgornjem kontekstu neodvisna od načina razvrstitve? Recimo, da bi imel neko bijekcijo \(\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) in bi gledal vrsto \(\sum_{i=1}^\infty\sigma(i)^s\).
Re: Vsota naravnih števil
Ah, način razvrstitve že pri pogojno konvergentnih vrstah lahko popolnoma spremeni rezultat. Divergentne vrste so še bolj občutljive na to. Samo absolutno konvergentne vrste so imune na permutacijo členov. Recimo pri pogojno konvergentnih vrstah (tipični primeri so alternirajoče vrste), lahko namešaš popolnoma poljuben rezultat samo s permutacijo členov. Predstavljaš si lahko, da imaš dva kupčka: negativne in pozitivne člene. Katerokoli število si zamisliš kot željen rezultat, ga lahko dobiš tako, da jemlješ iz pozitivnega kupčka dokler je vsota premajhna, in ko prekoračiš, dodajaš iz negativnega kupčka in tako dalje. Seveda kupčkov ne porabljaš enako hitro, ampak v limiti še vedno vse porabiš - rezultat je pa poljuben 
Za divergentne vrste nisem nek ekspert, tako, da se lahko motim, ampak tudi tukaj lahko verjetno "šparaš" velike člene za pozneje in spremeniš rezultat. Še posebej, ker si tukaj sploh vezan na določeno regularizacijo, saj konvergira itak ne. Edino to dejstvo mi je malo sumljivo, da regulariziraš z Zeta funkcijo, ta pa je absolutno konvergentna vrsta (kjer konvergira sploh, seveda).
Za divergentne vrste nisem nek ekspert, tako, da se lahko motim, ampak tudi tukaj lahko verjetno "šparaš" velike člene za pozneje in spremeniš rezultat. Še posebej, ker si tukaj sploh vezan na določeno regularizacijo, saj konvergira itak ne. Edino to dejstvo mi je malo sumljivo, da regulariziraš z Zeta funkcijo, ta pa je absolutno konvergentna vrsta (kjer konvergira sploh, seveda).