matrika v stan.bazi

[Vesnaak]

potrebujem pomoč...

S pomočjo prehodnih matrik doloite matriko linearne preslikave f v standardni bazi
ustreznega prostora, če velja:

1) f : R3 => R3 je zrcaljenje čez premico 2x = -y = z

dobro,jaz dobim tukaj en vektor,ki ga lahko uporabim vektor (1,-2,2), potem pa zamrznem. vem,da preslikava en vektor ohrani,tj.vektor na premici, druga 2 pa spremenita predznak...ampak kako od tu naprej? mi lahko nekdo prosim pomaga


kaj pa če bi bila pravokotna projekcija na to premico? grem isto,samo , da mi preslikava slika 2 vektorja v nič, ker gresta pravokotno na premico?
pa potem še ta primer:

2) f : R2!R2 je vrtež okoli izhodišča za kot fo v pozitivni smeri.
si tukaj lahko pomagam s kotnimi funkcijami?


hvala

[Aniviller]

1)
Sprememba predznaka pravokotnih komponent je isto kot negacija vseh treh komponent in potem naknadna menjava predznaka v smeri premice. Menjavo predznaka v smeri premice pa dosežeš tako, da odšteješ dvakratnik projekcije. Na kratko:
\(\vec{r}\mapsto -(\vec{r}-2(\vec{r}\cdot\vec{s})\vec{s})=(2\vec{s}\otimes\vec{s}-I)\vec{r}\)
seveda mora smerni vektor s že biti enotske dolžine.

Pravokotna projekcija pa itak obdrži samo projecirano komponento, matrika pride \(\vec{s}\otimes\vec{s}\).

[Aniviller]

2) No to matriko moraš pa itak poznat, to je osnova za vse ostale rotacije. Kosinusa po diagonali in sinusa z nasprotnima predznakoma na preostalih 2 mestih. Predznak pa pogruntaj na značilnih primerih (in si ga potem za vedno zapomni).

[Vesnaak]

jaz sem prvo rešila tako,da sem poiskala ta vektor na premici, potem pa sem nameravala poiskati 2, ki sta nanjo pravokotna,pa ne vem kako to storim?
No nekaj sem našla in ko zmnožim dobim 0, potem pa sem s prehodnimi matrikami zapisala matriko...

...pri drugi pa je podano samo to. predznake poznam, to ni problem, sem pa kar splošno matriko naredila kot da zvamem najprej vektor npr. (1,0), ki se potem preslika z lin.preslikavo v (cosfi, sinfi) in potem isto za vektor (0.1)kjer sem pisala cos(90-fi),sin(90-fi)

je to ok?

[Aniviller]

1) Seveda lahko poiščeš 2 pravokotna vektorja, samo s tem si narediš ogromno dela z zadevo, ki bo potem v celoti izginila iz rezultata. Izbir je neskončno, en vektor lahko uganeš ali pa izbereš skoraj poljubnega in ga ortogonaliziraš na prvega. Zadnji vektor potem dobiš lahko z vektorskim produktom ostalih dveh. Ampak to res nima smisla. Projekcija na premico je skalarni produkt s smernim vektorjem, projekcija na njej pravokotno ravnino je prvotni vektor MINUS projekcija na normalo ravnine (=smerni vektor premice), in potem to drugo obrneš in nazaj sešteješ. Res ni panike.

2) To ni prav. Ta dva vektorja nista pravokotna. Nariši si - če narišeš en vektor pod kotom fi od 0 navzgor, in drugega pod kotom fi od 90 navzdol, se "zapirata" in pri fi=45 stopinj bosta celo sovpadala, kar niti približno ni pravokotno. Če uporabiš zveze med kotnimi funkcijami, tudi vidiš, da je drugi sin(fi),cos(fi) - manjkajoči minus.

To ti tudi takoj pove pravi rezultat: če hočeš, da drugi vektor ostane pravokoten na prvega, bo pač štrlel pod kotom, za 90 stopinj večjim od tistega pri prvem vektorju, torej cos(fi+90),sin(fi+90), od koder sledi pravi rezultat
\(\begin{bmatrix}\cos\phi &-\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi\end{bmatrix}\)
kar si zapomni za vse večne čase. To je osnova za vse rotacije tudi v 3D in višje gor, pa v bistvu tudi v kompleksnih številih imaš isto stvar (saj so le 2D vektorji). Ta je res popolnoma elementarna.