Reši integral

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
lol pain
Prispevkov: 34
Pridružen: 14.1.2014 15:23

Reši integral

Odgovor Napisal/-a lol pain »

Pozdravljeni!

Pri reševanju integralov sem naletel na zahteven primer, za katerega ne najdem postopka za rešitev.

Integral je: (sin(x)*cos(x))/(sin(x)^4+cos(x)^4) dx

Mogoče je potrebna kakšna posebna metoda ali pa kakšen trik, do katerega še nisem prišel.

Hvala za odgovore!

LP

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Sumljivo simetrično izgleda :) Nekako želiš stvari spravit na cos^2+sin^2. Recimo najprej sem takoj probal
\(\sin^2x(1-\cos^2 x)+\cos^2 x (1-\sin^2 x)=1-2\sin^2 x \cos^2 x\).
Prepoznaš kvadrat sinusa dvojnega kota (ker je kvadrat, ga lahko daš na kvadrat KOSINUSA dvojnega kota). V števcu imaš pa sinus dvojnega kota, tako da ko spraviš na kosinus, lahko daš u=cos(2x) in se lepo substitucija gladko izvede.

lol pain
Prispevkov: 34
Pridružen: 14.1.2014 15:23

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a lol pain »

Hvala za odgovor!

lol pain
Prispevkov: 34
Pridružen: 14.1.2014 15:23

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a lol pain »

Zanima me še samo, kako je lahko 2*sin^2(x)*cos^2(x) enako sin^2(2x)? Ali ni sin(2x)=2*sin(x)*cos(x) in bi zato moral še množiti in deliti z 2, da dobim sin^2(2x)?
In zakaj lahko sin^2(2x) zapišeš kot cos^2(2x)?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ma ja tiste dvojke boš že poštimal, jaz sem samo idejo povedal. Tisti faktorji ne vplivajo na to da postopek ne bi delal.

lol pain
Prispevkov: 34
Pridružen: 14.1.2014 15:23

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a lol pain »

Hvala za odgovor!

lol pain
Prispevkov: 34
Pridružen: 14.1.2014 15:23

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a lol pain »

Pozdravljeni!

Imam še nekaj primerov integralov. Prosil bi, če bi lahko za vsakega dobil še krajši postopek reševanja.
Hvala za odgovore!

e^(-2x)*sin(3x)
(arcsin(x/2))/sqrt(2-x)
arctg(sqrt(2x-1))
x*tg^2(x)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

1) Ti ekspo-trigonometrični ponavadi lepo padejo ven, če narediš 2x per partes in izraziš rezultat. Ali greš pa v kompleksno, kjer je to navadna eksponentna funkcija.
2) Tukaj tudi hočeš per partes: arkus sinus je tisto, kar želiš odvajat, saj s tem dobiš koren, ki ga je potem lažje integrirat.
3) Huh. No, če rečeš, da je sqrt(2x-1)=tan(fi), potem je dx=(1+tan^2(fi))tan(fi)dfi. To je vseeno kar zoprna reč, lahko pa to potem poskušaš per partes (odvajaš tisti odvečni fi).
4) Ah no to je podobno kot tisto, kar dobiš pri 3). Poskusi per partes, da x odvajaš. Sicer ga mislim da dobiš nazaj, ampak je vsaj izoliran. Ni lahko. Integrirat bo treba tg^2(x), pol pa še naprej.

lol pain
Prispevkov: 34
Pridružen: 14.1.2014 15:23

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a lol pain »

Hvala za odgovor!

fmf
Prispevkov: 210
Pridružen: 28.6.2012 16:02

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a fmf »

Kako bi izračunal naslednji integral? Najprej sem ločil na dva integrala, ker je 0 singularna točka. Naprej pa ne znam...
\(\lim_{R \to \infty} \int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^{-Rsinx}\,\mathrm{d}x\)

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Reši integral

Odgovor Napisal/-a Zajc »

Integral razdeliš na \(\int_0^{\epsilon}e^{-R\sin{x}}dx+\int_{\epsilon}^{\frac{\pi}{2}}e^{-R\sin{x}}dx\). Prvi kos je manjši od \(\epsilon\), drugi pa od \(\int_{\epsilon}^{\frac{\pi}{2}}e^{-R\sin{\epsilon}}dx\le\frac{\pi}{2}e^{-R\sin{\epsilon}}\). Če izbereš \(\epsilon=\arcsin{\frac{1}{\sqrt{R}}}\), Potem je prvi kos manjši od \(\arcsin{\frac{1}{\sqrt{R}}}\), drugi pa od \(e^{-R\sin{(\arcsin{\frac{1}{\sqrt{R}}})}}=e^{-\sqrt{R}}\). Ko gre \(R\to\infty\), gresta oba dela proti \(0\), zato je limita \(0\).

Odgovori