Reši integral
Reši integral
Pozdravljeni!
Pri reševanju integralov sem naletel na zahteven primer, za katerega ne najdem postopka za rešitev.
Integral je: (sin(x)*cos(x))/(sin(x)^4+cos(x)^4) dx
Mogoče je potrebna kakšna posebna metoda ali pa kakšen trik, do katerega še nisem prišel.
Hvala za odgovore!
LP
Pri reševanju integralov sem naletel na zahteven primer, za katerega ne najdem postopka za rešitev.
Integral je: (sin(x)*cos(x))/(sin(x)^4+cos(x)^4) dx
Mogoče je potrebna kakšna posebna metoda ali pa kakšen trik, do katerega še nisem prišel.
Hvala za odgovore!
LP
Re: Reši integral
Sumljivo simetrično izgleda Nekako želiš stvari spravit na cos^2+sin^2. Recimo najprej sem takoj probal
\(\sin^2x(1-\cos^2 x)+\cos^2 x (1-\sin^2 x)=1-2\sin^2 x \cos^2 x\).
Prepoznaš kvadrat sinusa dvojnega kota (ker je kvadrat, ga lahko daš na kvadrat KOSINUSA dvojnega kota). V števcu imaš pa sinus dvojnega kota, tako da ko spraviš na kosinus, lahko daš u=cos(2x) in se lepo substitucija gladko izvede.
\(\sin^2x(1-\cos^2 x)+\cos^2 x (1-\sin^2 x)=1-2\sin^2 x \cos^2 x\).
Prepoznaš kvadrat sinusa dvojnega kota (ker je kvadrat, ga lahko daš na kvadrat KOSINUSA dvojnega kota). V števcu imaš pa sinus dvojnega kota, tako da ko spraviš na kosinus, lahko daš u=cos(2x) in se lepo substitucija gladko izvede.
Re: Reši integral
Zanima me še samo, kako je lahko 2*sin^2(x)*cos^2(x) enako sin^2(2x)? Ali ni sin(2x)=2*sin(x)*cos(x) in bi zato moral še množiti in deliti z 2, da dobim sin^2(2x)?
In zakaj lahko sin^2(2x) zapišeš kot cos^2(2x)?
In zakaj lahko sin^2(2x) zapišeš kot cos^2(2x)?
Re: Reši integral
Ma ja tiste dvojke boš že poštimal, jaz sem samo idejo povedal. Tisti faktorji ne vplivajo na to da postopek ne bi delal.
Re: Reši integral
Pozdravljeni!
Imam še nekaj primerov integralov. Prosil bi, če bi lahko za vsakega dobil še krajši postopek reševanja.
Hvala za odgovore!
e^(-2x)*sin(3x)
(arcsin(x/2))/sqrt(2-x)
arctg(sqrt(2x-1))
x*tg^2(x)
Imam še nekaj primerov integralov. Prosil bi, če bi lahko za vsakega dobil še krajši postopek reševanja.
Hvala za odgovore!
e^(-2x)*sin(3x)
(arcsin(x/2))/sqrt(2-x)
arctg(sqrt(2x-1))
x*tg^2(x)
Re: Reši integral
1) Ti ekspo-trigonometrični ponavadi lepo padejo ven, če narediš 2x per partes in izraziš rezultat. Ali greš pa v kompleksno, kjer je to navadna eksponentna funkcija.
2) Tukaj tudi hočeš per partes: arkus sinus je tisto, kar želiš odvajat, saj s tem dobiš koren, ki ga je potem lažje integrirat.
3) Huh. No, če rečeš, da je sqrt(2x-1)=tan(fi), potem je dx=(1+tan^2(fi))tan(fi)dfi. To je vseeno kar zoprna reč, lahko pa to potem poskušaš per partes (odvajaš tisti odvečni fi).
4) Ah no to je podobno kot tisto, kar dobiš pri 3). Poskusi per partes, da x odvajaš. Sicer ga mislim da dobiš nazaj, ampak je vsaj izoliran. Ni lahko. Integrirat bo treba tg^2(x), pol pa še naprej.
2) Tukaj tudi hočeš per partes: arkus sinus je tisto, kar želiš odvajat, saj s tem dobiš koren, ki ga je potem lažje integrirat.
3) Huh. No, če rečeš, da je sqrt(2x-1)=tan(fi), potem je dx=(1+tan^2(fi))tan(fi)dfi. To je vseeno kar zoprna reč, lahko pa to potem poskušaš per partes (odvajaš tisti odvečni fi).
4) Ah no to je podobno kot tisto, kar dobiš pri 3). Poskusi per partes, da x odvajaš. Sicer ga mislim da dobiš nazaj, ampak je vsaj izoliran. Ni lahko. Integrirat bo treba tg^2(x), pol pa še naprej.
Re: Reši integral
Kako bi izračunal naslednji integral? Najprej sem ločil na dva integrala, ker je 0 singularna točka. Naprej pa ne znam...
\(\lim_{R \to \infty} \int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^{-Rsinx}\,\mathrm{d}x\)
\(\lim_{R \to \infty} \int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^{-Rsinx}\,\mathrm{d}x\)
Re: Reši integral
Integral razdeliš na \(\int_0^{\epsilon}e^{-R\sin{x}}dx+\int_{\epsilon}^{\frac{\pi}{2}}e^{-R\sin{x}}dx\). Prvi kos je manjši od \(\epsilon\), drugi pa od \(\int_{\epsilon}^{\frac{\pi}{2}}e^{-R\sin{\epsilon}}dx\le\frac{\pi}{2}e^{-R\sin{\epsilon}}\). Če izbereš \(\epsilon=\arcsin{\frac{1}{\sqrt{R}}}\), Potem je prvi kos manjši od \(\arcsin{\frac{1}{\sqrt{R}}}\), drugi pa od \(e^{-R\sin{(\arcsin{\frac{1}{\sqrt{R}}})}}=e^{-\sqrt{R}}\). Ko gre \(R\to\infty\), gresta oba dela proti \(0\), zato je limita \(0\).