Raziskovanje

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
subic.alja
Prispevkov: 25
Pridružen: 22.11.2012 18:51

Raziskovanje

Odgovor Napisal/-a subic.alja »

Pozdravljeni!
Moja naloga je sledeča:

Zanimajo nas večkratniki števila \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Nekateri večkratniki imajo enak celi del: npr. \(\frac{13}{\sqrt{2}}\) in \(\frac{14}{\sqrt{2}}\) imata oba celi del 9. Po drugi strani ima npr. celi del 5 le večkratnik \(\frac{8}{\sqrt{2}}\). Rekli bomo, da je 9 ponavljajoče število, 5 pa ni ponavljajoče. Je mogoče povedati kaj več o tem, katera števila so ponavljajoča? Koliko je ponavljajočih števil med prvimi 100, 1000, n naravnih števil?

Torej, slednjo nalogo moram čimbolj raziskati in priti do kakšnih pametnih ugotovitev, pa me zanima, kaj lahko ugotovite o tem?

LP

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Raziskovanje

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No takoj je očitno, da se število lahko ponovi le enkrat ali dvakrat, saj je \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) med 1/2 in 1.

Potem pa takole. Razvoj po verižnih ulomkih je idealen, saj po definiciji najprej izpostavi celi del. Tako da jaz bi tako nadaljeval z raziskavo. Na ta način imaš stalno opravka samo z naravnimi števili, veš pa tudi, da se verižni ulomek začne ponavljat. Tukaj lahko potem posežeš po literaturi o verižnih ulomkih in naprej raziskuješ.

Vprašanje je tudi, ali je dolgoročno kakšen red v porazdelitvi dvojnih in enojnih.

subic.alja
Prispevkov: 25
Pridružen: 22.11.2012 18:51

Re: Raziskovanje

Odgovor Napisal/-a subic.alja »

Torej so ponavljajoča števila ravno tisti celi deli, katerih decimalni deli so manjši od 1-0,707106781=0,292893219. Koliko pa je ponavljajočih števil med prvimi 100, 1000, n naravnih števil? Ali se da dobiti kakšno splošno enačbo, koliko je ponavljajočih števil med prvimi n naravnimi števili?

LP

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Raziskovanje

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No to je pa zdaj stvar raziskovanja. Stvar definitivno ni enostavna, in zna bit, da rabiš kar nekaj matematike, da kaj pametnega izveš. Imaš namreč opravka z racionalnimi približki iracionalnega števila, in to je kar kosmata teorija. Lahko pa si z računalnikom na hitro narediš spisek in iščeš kak vzorec, čeprav ne vem če je kak očiten. Sem si izpisal na hitro vse ponavljajaoča med prvimi 1000 in ne zgleda kaj dosti urejeno:

Koda: Izberi vse

0 2 4 7 9 12 14 16 19 21 24 26 28 31 33 36 38 41 43 45 48 50 53 55 57 60 62 65 67 70 72 74 77 79 82 84 86 89 91 94 96 98 101 103 106 108 111 113 115 118 120 123 125 127 130 132 135 137 140 142 144 147 149 152 154 156 159 161 164 166 168 171 173 176 178 181 183 185 188 190 193 195 197 200 202 205 207 210 212 214 217 219 222 224 226 229 231 234 236 239 241 243 246 248 251 253 255 258 260 263 265 267 270 272 275 277 280 282 284 287 289 292 294 296 299 301 304 306 309 311 313 316 318 321 323 325 328 330 333 335 337 340 342 345 347 350 352 354 357 359 362 364 366 369 371 374 376 379 381 383 386 388 391 393 395 398 400 403 405 408 410 412 415 417 420 422 424 427 429 432 434 436 439 441 444 446 449 451 453 456 458 461 463 465 468 470 473 475 478 480 482 485 487 490 492 494 497 499 502 504 506 509 511 514 516 519 521 523 526 528 531 533 535 538 540 543 545 548 550 552 555 557 560 562 564 567 569 572 574 576 579 581 584 586 589 591 593 596 598 601 603 605 608 610 613 615 618 620 622 625 627 630 632 634 637 639 642 644 647 649 651 654 656 659 661 663 666 668 671 673 675 678 680 683 685 688 690 692 695 697 700 702 704
Seveda veš kolikšen delež dvojčkov je (ker veš, da med N števili dobiš samo N/sqrt(2) razpona). Pa ne moreta biti dve sosednji.

subic.alja
Prispevkov: 25
Pridružen: 22.11.2012 18:51

Re: Raziskovanje

Odgovor Napisal/-a subic.alja »

Hmmm...
Gledala sem koliko je ponavljajočih števil med n naravnimi števili, pri 1.000.000.000 je recimo 292893218 ponavljajočih števil, kar je zelo podobno kot
1-0,707106781=0,292893218... Torej, če vzameš celo del števila \((1 - \frac{1}{\sqrt{2}})*n\) dobimo ravno število ponavljajočih števil med prvih n naravnimi števili ali pa eno več/manj... Je tu kakšen smisel?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Raziskovanje

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Seveda. Če vstaviš n zaporednih števil in dobiš števila v razponu n/sqrt(2), potem se mora sigurno tistih odvečnih n-n/sqrt(2) ponovit, kaj pa drugega. Tisti plusminus ena pa je odvisno kje začneš, ker pač ne veš kako premaknjeno je že trenutno. To je zelo očitno. Mene bi bolj zanimalo, če lahko kaj več izvemo o njih :) Malo štej sode in lihe... če je vse enakomerno, mora biti približno pol-pol. Potem lahko gledaš porazdelitev po razmikih med podvojenimi. Razmik je lahko 2 ali 3. Ta tudi ne bo čisto naključen ampak ima nek red v tem.

V bistvu gre pri vseh teh stvareh za akumulacijo napake: nabira se in nabira, dokler se ne nabere toliko, da udari čez. Lahko namesto celih delov izpisuješ tudi samo decimalne! Seveda ničel med njimi ne bo. Če gledaš njihovo porazdelitev, morajo biti z enako verjetnostjo porazdeljeni po celem intervalu (0,1), seveda brez racionalnih števil.

Odgovori