Pozdravljeni!
Naloga gre takole: Pravilni n-kotnik razrežemo z nekaj diagonalami, ki se znotraj lika ne
sekajo. Pri tem lahko nastanejo različni liki. Razišči tovrstne razreze.
Zanima me, če ima mogoče kdo kakšno idejo, kako bi to temo čimbolj podrobno raziskala?
Razrezani večkotniki
Re: Razrezani večkotniki
Veliko se da raziskat. Kot prvo, lahko poiščeš koliko jih je. Ti razrezi z nesekajočimi diagonalami so nekaj posebnega: vsaka "rezina" dobi strnjen kos oglišč prvotnega večkotnika. Recimo za petkotnik imaš oglišča
12345
in rez od 2 do 4 to razcepi na
..12][234][45..
pri čemer se to ciklično ponavlja, tako da dobiš večkotnika 234 in 4512. Število načinov razreza lahko raziščeš potem naprej: večkotnik z n oglišči lahko razrežeš z eno diagonalo na n*(n-3)/2 načinov (iz vsakega oglišča lahko režeš, ampak drugo oglišče pa ne sme bit ne isto ne sosednje, pa vsako diagonalo 2x šteješ). Najmanjši odrezan kos je lahko trikotnik. Če je en izmed kosov m-kotnik, je drug (n-m+2)-kotnik. In tako naprej - tukaj zaideš v kombinatoriko. Seveda še nismo upoštevali simetrije - izkaže se, da je seveda potem na koncu vse najmanj n-krat podvojeno. Stvar je nekoliko sorodna številu delitev naravnega števila, ni pa čisto isto:
http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_ ... _theory%29
Potem se lahko igraš s koti: kateri so možni notranji koti nastalih večkotnikov. Poleg osnovnega lahko dobiš še nekaj drugih, ampak precej omejen nabor. To lahko izraziš in tabeliraš. Podobno velja za ploščine kosov - kakšne so? V kakšnih razmerjih proti prvotnemu večkotniku? In obsegi?
To je zanimivo tudi kot triangulacija: s trikotniki znamo računat, tudi v računalniški grafiki ponavadi narišemo večkotnike tako, da jih razrežemo. Očitno je, da če hočeš same trikotnike in nič drugega, da rabiš (n-2) trikotnikov, razrežeš pa z (n-3) diagonalami. Ampak... manj očitno je pa, koliko različnih načinov izbire teh diagonal obstaja - pa smo spet pri zanimivem vprašanju!
Ker imaš opravka s pravilnim n-kotnikom, veš, da si vsi nastali liki delijo očrtano krožnico.
In tako naprej...
12345
in rez od 2 do 4 to razcepi na
..12][234][45..
pri čemer se to ciklično ponavlja, tako da dobiš večkotnika 234 in 4512. Število načinov razreza lahko raziščeš potem naprej: večkotnik z n oglišči lahko razrežeš z eno diagonalo na n*(n-3)/2 načinov (iz vsakega oglišča lahko režeš, ampak drugo oglišče pa ne sme bit ne isto ne sosednje, pa vsako diagonalo 2x šteješ). Najmanjši odrezan kos je lahko trikotnik. Če je en izmed kosov m-kotnik, je drug (n-m+2)-kotnik. In tako naprej - tukaj zaideš v kombinatoriko. Seveda še nismo upoštevali simetrije - izkaže se, da je seveda potem na koncu vse najmanj n-krat podvojeno. Stvar je nekoliko sorodna številu delitev naravnega števila, ni pa čisto isto:
http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_ ... _theory%29
Potem se lahko igraš s koti: kateri so možni notranji koti nastalih večkotnikov. Poleg osnovnega lahko dobiš še nekaj drugih, ampak precej omejen nabor. To lahko izraziš in tabeliraš. Podobno velja za ploščine kosov - kakšne so? V kakšnih razmerjih proti prvotnemu večkotniku? In obsegi?
To je zanimivo tudi kot triangulacija: s trikotniki znamo računat, tudi v računalniški grafiki ponavadi narišemo večkotnike tako, da jih razrežemo. Očitno je, da če hočeš same trikotnike in nič drugega, da rabiš (n-2) trikotnikov, razrežeš pa z (n-3) diagonalami. Ampak... manj očitno je pa, koliko različnih načinov izbire teh diagonal obstaja - pa smo spet pri zanimivem vprašanju!
Ker imaš opravka s pravilnim n-kotnikom, veš, da si vsi nastali liki delijo očrtano krožnico.
In tako naprej...